与えられた行列 $\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ を対角化する際の固有値と固有ベクトルを利用して、a, b, c, d の値を求めます。具体的には、行列 $\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ を対角化し、その5乗を計算する際に現れる対角行列の成分 a, b, c, d の値を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ を対角化する際の固有値と固有ベクトルを利用して、a, b, c, d の値を求めます。具体的には、行列 $\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ を対角化し、その5乗を計算する際に現れる対角行列の成分 a, b, c, d の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ の固有値を求めます。

固有方程式は、

$det(A - \lambda I) = 0$

つまり、

$det\begin{pmatrix} 5-\lambda & 1 \\ 1 & 5-\lambda \end{pmatrix} = (5-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 10\lambda + 24 = (\lambda - 6)(\lambda - 4) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 6$ と $\lambda_2 = 4$ です。

次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 6$ に対して:

$\begin{pmatrix} 5-6 & 1 \\ 1 & 5-6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + y = 0$ より、$x = y$。固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

$\lambda_2 = 4$ に対して:

$\begin{pmatrix} 5-4 & 1 \\ 1 & 5-4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、$y = -x$。固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となります。

与えられた式と比較すると、対角化の変換行列は $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ であり、$P^{-1}AP = D$ （Dは対角行列）です。

したがって、$a = 6$ および $b = 4$ となります。

次に、行列の5乗を計算します。

$A^5 = PDP^{-1}PDP^{-1}PDP^{-1}PDP^{-1}PDP^{-1} = PD^5P^{-1}$

$D^5 = \begin{pmatrix} 6^5 & 0 \\ 0 & 4^5 \end{pmatrix}$

したがって、$c = 6^5 = 7776$ および $d = 4^5 = 1024$ となります。

3. 最終的な答え

a = 6

b = 4

c = 7776

d = 1024