与えられた式 $x^2 - 9y^2 - 4x + 12y$ を因数分解または平方完成せよ、という問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 9y^2 - 4x + 12y$ を因数分解または平方完成せよ、という問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$の項と$y$の項をそれぞれまとめます。

$x^2 - 4x - (9y^2 - 12y)$

次に、$x$の項、$x^2 - 4x$ を平方完成します。

$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$

次に、$y$の項、$9y^2 - 12y$ を平方完成します。

$9y^2 - 12y = 9(y^2 - \frac{4}{3}y) = 9\left( (y - \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9} \right) = 9(y - \frac{2}{3})^2 - 4 = (3y - 2)^2 - 4$

これらを元の式に代入します。

$(x - 2)^2 - 4 - \left( (3y - 2)^2 - 4 \right) = (x - 2)^2 - 4 - (3y - 2)^2 + 4 = (x - 2)^2 - (3y - 2)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形なので、因数分解できます。

$A = x - 2$, $B = 3y - 2$ とすると、

$(x - 2 + 3y - 2)(x - 2 - (3y - 2)) = (x + 3y - 4)(x - 3y)$

3. 最終的な答え

$(x + 3y - 4)(x - 3y)$