画像にある数学の問題を解きます。問題は全部で4つのセクションに分かれています。1次関数、2次関数、平方完成、分数関数に関する問題です。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。問題は全部で4つのセクションに分かれています。1次関数、2次関数、平方完成、分数関数に関する問題です。

2. 解き方の手順

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1. 1次関数**

1. 直線 $y = 2x + 1$ の傾きとy切片を求める。

* 傾き: 2

* y切片: 1

2. 関数 $f(x) = -3x + 6$ のx切片とy切片を求め、グラフを概形スケッチする。

* x切片: $f(x) = 0$ となる $x$ の値。 $-3x+6=0$ より $x=2$。

* y切片: $x=0$ のときの $f(x)$ の値。 $f(0) = -3(0) + 6 = 6$。

3. 点 $(1, 2)$ と $(3, -4)$ を通る一次関数の式を求める。

* 求める式を $y = ax + b$ とする。

* $(1, 2)$ を通るので、$2 = a + b$。

* $(3, -4)$ を通るので、$-4 = 3a + b$。

* 2つの式を連立して解く。

* $-4 = 3a + b$ から $b = -4 - 3a$

* $2 = a + (-4 - 3a) \Rightarrow 6 = -2a \Rightarrow a = -3$

* $b = -4 - 3(-3) = -4 + 9 = 5$

* したがって、式は $y = -3x + 5$。

4. 直線 $y = mx + 2$ が点 $(3, -1)$ を通るときの $m$ の値を求める。

* 点 $(3, -1)$ を通るので、$-1 = m(3) + 2$。

* $-1 = 3m + 2$ より $3m = -3$。したがって $m = -1$。

5. 直線 $y = x - 5$ と $y = -2x + 3$ の交点を求める。

* $x - 5 = -2x + 3$ より $3x = 8$。したがって $x = \frac{8}{3}$。

* $y = \frac{8}{3} - 5 = \frac{8}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{7}{3}$。

* 交点は $(\frac{8}{3}, -\frac{7}{3})$。

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2. 2次関数**

1. 関数 $f(x) = x^2 - 6x + 5$ の頂点の座標と軸の方程式を求める。

* $f(x) = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4$。

* 頂点の座標: $(3, -4)$。

* 軸の方程式: $x = 3$。

2. 関数 $g(x) = -2x^2 + 4x + 1$ の最大値とそのときの $x$ の値を求める。

* $g(x) = -2(x^2 - 2x) + 1 = -2(x - 1)^2 + 2 + 1 = -2(x - 1)^2 + 3$。

* 最大値: 3 ($x=1$ のとき)。

3. 関数 $h(x) = ax^2 + bx + c$ が頂点 $(1, -2)$ を通り、$h(0) = 3$ を満たすとき、$a, b, c$ を求める。

* 頂点が $(1, -2)$ なので、$h(x) = a(x - 1)^2 - 2$ と表せる。

* $h(0) = 3$ より、$a(0 - 1)^2 - 2 = 3 \Rightarrow a - 2 = 3 \Rightarrow a = 5$。

* $h(x) = 5(x - 1)^2 - 2 = 5(x^2 - 2x + 1) - 2 = 5x^2 - 10x + 5 - 2 = 5x^2 - 10x + 3$。

* したがって、$a = 5$, $b = -10$, $c = 3$。

4. 放物線 $y = (x - 2)(x + 3)$ の頂点と $x$ 軸との交点を求める。

* $y = x^2 + x - 6$。

* $y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - 6 = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{25}{4}$。

* 頂点の座標: $(-\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})$。

* $x$ 軸との交点: $y = 0$ となる $x$ の値。$(x - 2)(x + 3) = 0$ より $x = 2, -3$。 交点は $(2, 0)$ と $(-3, 0)$。

5. 関数 $y = x^2$ と直線 $y = 2x + 3$ の交点を求める。

* $x^2 = 2x + 3$ より $x^2 - 2x - 3 = 0$。

* $(x - 3)(x + 1) = 0$ より $x = 3, -1$。

* $x = 3$ のとき $y = 3^2 = 9$。

* $x = -1$ のとき $y = (-1)^2 = 1$。

* 交点は $(3, 9)$ と $(-1, 1)$。

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3. 平方完成**

1. 多項式 $x^2 + 6x + 5$ を平方完成する。

* $x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$。

2. $x^2 - 8x + 15$ を平方完成し、頂点の座標を求める。

* $x^2 - 8x + 15 = (x - 4)^2 - 16 + 15 = (x - 4)^2 - 1$。

* 頂点の座標: $(4, -1)$。

3. 関数 $f(x) = 3x^2 + 12x + 7$ を平方完成して最小値を求める。

* $f(x) = 3(x^2 + 4x) + 7 = 3(x + 2)^2 - 12 + 7 = 3(x + 2)^2 - 5$。

* 最小値: $-5$。

4. 多項式 $2x^2 - 4x + 1$ の平方完成を行い、頂点の座標を求める。

* $2x^2 - 4x + 1 = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x - 1)^2 - 2 + 1 = 2(x - 1)^2 - 1$。

* 頂点の座標: $(1, -1)$。

5. 一般形 $ax^2 + bx + c$ を平方完成し、$a(x - p)^2 + q$ の形に変形し、$p, q$ を $a, b, c$ で表す。

* $ax^2 + bx + c = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - a(\frac{b}{2a})^2 + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。

* $p = -\frac{b}{2a}$、 $q = c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a}$。

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4. 分数関数**

1. 関数 $y = \frac{2}{x - 1}$ の垂直・水平漸近線を求める。

* 垂直漸近線: $x = 1$。

* 水平漸近線: $y = 0$。

2. 関数 $y = \frac{x + 2}{x - 3}$ のx軸・y軸との交点を求め、漸近線を示す。

* x軸との交点: $y=0$ のとき $x=-2$, $(-2,0)$。

* y軸との交点: $x=0$ のとき $y=-\frac{2}{3}$, $(0,-\frac{2}{3})$。

* 垂直漸近線: $x = 3$。

* 水平漸近線: $y = 1$。

3. 関数 $y = \frac{3}{x^2 - 4}$ の定義域を求め、グラフの概形を説明する。

* 定義域: $x^2 - 4 \neq 0$ より $x \neq \pm 2$。つまり、$\{x | x \neq 2, x \neq -2\}$。

* グラフの概形: $x = 2$ と $x = -2$ が垂直漸近線。 $y = 0$ が水平漸近線。 $x$ が大きいとき、$y$ は0に近づき、$x$ が小さいときも、$y$ は0に近づく。

4. 分数関数 $y = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ を約分し、隠れた穴(除去点)と直線漸近線を求める。

* $y = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = x - 1$ (ただし、$x \neq -1$)。

* 隠れた穴: $x = -1$ のとき、$y = -1 - 1 = -2$。 よって、$(-1, -2)$。

* 直線 (漸近線) は $y = x - 1$。

5. 一般の分数関数 $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の垂直・水平漸近線の求め方を説明し、例として $y = \frac{2x + 3}{x - 1}$ に適用する。

* 垂直漸近線: $cx + d = 0$ となる $x$ の値。$x = -\frac{d}{c}$。

* 水平漸近線: $x \to \infty$ のときの $y$ の値。$y = \frac{a}{c}$。

* 例：$y = \frac{2x + 3}{x - 1}$ の場合。

* 垂直漸近線: $x - 1 = 0$ より $x = 1$。

* 水平漸近線: $y = \frac{2}{1} = 2$。

3. 最終的な答え

上記に各問題の答えを記載しました。