$x, y$ は実数とする。次の (1) から (6) のそれぞれについて、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいはそのいずれでもないかを判断する。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。次の (1) から (6) のそれぞれについて、左側の条件が右側の条件であるための必要条件、十分条件、必要十分条件、あるいはそのいずれでもないかを判断する。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための条件を考える。

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$ より、$x=2$ または $x=3$。

$x=2$ ならば $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるが、$x^2 - 5x + 6 = 0$ ならば $x=2$ とは限らない ($x=3$ の場合がある)。

したがって、$x=2$ は $x^2 - 5x + 6 = 0$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

(2) $x \neq 0$ は $(x-1)(x-2) = 0$ であるための条件を考える。

$(x-1)(x-2) = 0$ より、$x=1$ または $x=2$。

$(x-1)(x-2) = 0$ ならば $x \neq 0$ である。しかし、$x \neq 0$ であっても $(x-1)(x-2) = 0$ とは限らない ($x=3$ の場合など)。

したがって、$x \neq 0$ は $(x-1)(x-2) = 0$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

(3) $xy=1$ は $x=1$ であるための条件を考える。

$x=1$ ならば $y=1$ であり、$xy=1$ となる。しかし、$xy=1$ であっても $x=1$ とは限らない ($x=2, y=1/2$ の場合など)。

$x=1$ を満たしていれば、$xy = 1$ であることは必要だが、$xy = 1$ は$x=1$ であるための十分条件ではない。

逆に、$x=1$ を満たしていなければ、$xy = 1$ となることはないため、$x=1$ は $xy=1$ であるための必要条件ではない。

したがって、$xy=1$ は $x=1$ であるための必要条件でも十分条件でもない。

(4) $|x|=0$ は $x=0$ であるための条件を考える。

$|x|=0$ ならば $x=0$ である。また、$x=0$ ならば $|x|=0$ である。

したがって、$|x|=0$ は $x=0$ であるための必要十分条件である。

(5) $x=y=2$ は $2x-y = 2y-2 = 2$ であるための条件を考える。

$x=y=2$ ならば $2x-y = 2(2) - 2 = 2$ であり、$2y-2 = 2(2) - 2 = 2$ である。

したがって、$x=y=2$ ならば $2x-y = 2y-2 = 2$ である。

逆に、$2x-y = 2$ かつ $2y-2 = 2$ ならば、$2y = 4$ より $y=2$。

$2x - 2 = 2$ より $2x = 4$ なので $x=2$。

したがって、$2x-y = 2y-2 = 2$ ならば $x=y=2$ である。

したがって、$x=y=2$ は $2x-y = 2y-2 = 2$ であるための必要十分条件である。

(6) 四角形 ABCD がひし形であることは、四角形 ABCD が正方形であるための条件を考える。

四角形 ABCD が正方形ならば、四角形 ABCD はひし形である。しかし、四角形 ABCD がひし形であっても、正方形とは限らない (例えば、正方形でない菱形)。

したがって、四角形 ABCD がひし形であることは、四角形 ABCD が正方形であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件であるが必要条件ではない

(2) 必要条件であるが十分条件ではない

(3) 必要条件でも十分条件でもない

(4) 必要十分条件である

(5) 必要十分条件である

(6) 必要条件であるが十分条件ではない