3つの連続する整数があり、最も小さい数の2乗と最も大きい数の2乗の和は、真ん中の数の6倍より38大きくなります。真ん中の数を $x$ としたとき、 $(x-1)^2 + (ア)^2 = イ$ のアとイに入る数を求め、その後、この方程式を解いて3つの整数を求めます。

1. 問題の内容

3つの連続する整数があり、最も小さい数の2乗と最も大きい数の2乗の和は、真ん中の数の6倍より38大きくなります。真ん中の数を $x$ としたとき、 $(x-1)^2 + (ア)^2 = イ$ のアとイに入る数を求め、その後、この方程式を解いて3つの整数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3つの連続する整数を、真ん中の数を $x$ とすると、$x-1$, $x$, $x+1$ と表せる。最も小さい数は $x-1$ 、最も大きい数は $x+1$ である。

問題文より、$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$ という式が成り立つ。

従って、$ア = x+1$ である。

$(x-1)^2 + (x+1)^2 = 6x + 38$ を展開すると、

$x^2 - 2x + 1 + x^2 + 2x + 1 = 6x + 38$

$2x^2 + 2 = 6x + 38$

$2x^2 - 6x - 36 = 0$

$x^2 - 3x - 18 = 0$

$(x-6)(x+3) = 0$

よって、$x = 6$ または $x = -3$ となる。

問題文より $(x-1)^2 + (x+1)^2 = イ$なので、$イ = 6x+38$である。

$x=6$のとき $イ = 6(6) + 38 = 36 + 38 = 74$

$x=-3$のとき $イ = 6(-3) + 38 = -18 + 38 = 20$

(2) $x = 6$ のとき、3つの整数は $5, 6, 7$。

このとき、 $5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$ であり、$6 \times 6 + 38 = 36 + 38 = 74$ となるので正しい。

$x = -3$ のとき、3つの整数は $-4, -3, -2$。

このとき、 $(-4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$ であり、$6 \times (-3) + 38 = -18 + 38 = 20$ となるので正しい。

3. 最終的な答え

(1) ア: $x+1$

イ: $6x+38$

$x=6$ のとき $イ = 74$

$x=-3$ のとき $イ = 20$

(2) $x = 6$ のとき、$5, 6, 7$

$x = -3$ のとき、$-4, -3, -2$