与えられた行列 $ \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} $ の固有ベクトルが $ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $ であるとき、対応する固有値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列 $\begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix}$ の固有ベクトルが $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ であるとき、対応する固有値を求めます。

2. 解き方の手順

固有ベクトル $\mathbf{v}$ と固有値 $\lambda$ は、行列 $A$ に対して $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ という関係を満たします。 今回は、

$A = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix}$

$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

なので、$A\mathbf{v}$ を計算し、$\mathbf{v}$ の何倍になっているかを確認すれば、固有値$\lambda$が求められます。

$A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 2 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9(1) + 2(-1) \\ 2(1) + 9(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 2 \\ 2 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -7 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 7 \\ -7 \end{pmatrix} = 7 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

したがって、$A\mathbf{v} = 7\mathbf{v}$ なので、固有値 $\lambda$ は7となります。

3. 最終的な答え

7