(1) 原点を中心に$\theta$だけ回転させる平面上の一次変換を表す行列を求めます。 (2) 2x2の対称行列の例を2つ挙げます。 (3) 零行列ではない2x2行列Aで、$A^2 = O$を満たす例を1つ挙げます。（ここでOは零行列を表す）

1. 問題の内容

(1) 原点を中心に$\theta$だけ回転させる平面上の一次変換を表す行列を求めます。

(2) 2x2の対称行列の例を2つ挙げます。

(3) 零行列ではない2x2行列Aで、$A^2 = O$を満たす例を1つ挙げます。（ここでOは零行列を表す）

2. 解き方の手順

(1) 原点中心の回転行列は、以下の式で表されます。

$$

\begin{pmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta \\

\sin\theta & \cos\theta

\end{pmatrix}

$$

(2) 対称行列とは、転置行列が元の行列と等しい行列のことです。2x2の対称行列は、

$$

\begin{pmatrix}

a & b \\

b & c

\end{pmatrix}

$$

のような形をしています。ここで、$a, b, c$は任意の実数です。

したがって、2つの例として、

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 \\

2 & 3

\end{pmatrix}

$$

と

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 \\

0 & 0

\end{pmatrix}

$$

を挙げることができます。

(3) $A^2 = O$を満たす行列Aの例として、以下のようなものが挙げられます。

$$

A = \begin{pmatrix}

0 & 1 \\

0 & 0

\end{pmatrix}

$$

このとき、

$$

A^2 = \begin{pmatrix}

0 & 1 \\

0 & 0

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

0 & 1 \\

0 & 0

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

0 & 0 \\

0 & 0

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

(1)

$$

\begin{pmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta \\

\sin\theta & \cos\theta

\end{pmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{pmatrix}

1 & 2 \\

2 & 3

\end{pmatrix}

$、

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 \\

0 & 0

\end{pmatrix}

$$

(3)

$$

\begin{pmatrix}

0 & 1 \\

0 & 0

\end{pmatrix}

$$