連続する3つの自然数があり、最も大きい数の平方は、他の2数の積の2倍より4小さい。真ん中の数を$x+2$としたとき、与えられた条件から方程式を作る。そして、その方程式を解いて3つの自然数を求める。

1. 問題の内容

連続する3つの自然数があり、最も大きい数の平方は、他の2数の積の2倍より4小さい。真ん中の数を$x+2$としたとき、与えられた条件から方程式を作る。そして、その方程式を解いて3つの自然数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 連続する3つの自然数を小さい順に並べると、$x+1$, $x+2$, $x+3$となる。

問題文より、最も大きい数である$x+3$の平方は、他の2数の積$(x+1)(x+2)$の2倍より4小さいので、

$$(x+3)^2 = 2(x+1)(x+2) - 4$$

したがって、アには$x+3$、イには$x+1$、ウには$x+2$が入る。

(2) (1)で作った方程式を解く。

$$(x+3)^2 = 2(x+1)(x+2) - 4$$

$$x^2+6x+9 = 2(x^2+3x+2) - 4$$

$$x^2+6x+9 = 2x^2+6x+4 - 4$$

$$x^2+6x+9 = 2x^2+6x$$

$$0 = x^2 - 9$$

$$x^2 = 9$$

$$x = \pm 3$$

$x$は自然数なので、$x=3$。

よって、3つの自然数は、$x+1=3+1=4$, $x+2=3+2=5$, $x+3=3+3=6$。

3. 最終的な答え

(1) ア：$x+3$、イ：$x+1$、ウ：$x+2$

(2) 4, 5, 6