与えられた方程式 $x(x+3) = 770$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $x(x+3) = 770$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を展開します。

$x(x+3) = 770$

$x^2 + 3x = 770$

次に、方程式を標準形に変形します。

$x^2 + 3x - 770 = 0$

この二次方程式を解くために、因数分解を試みます。770を2つの数の積で表し、その差が3になる組み合わせを探します。

$770 = 2 \times 5 \times 7 \times 11$

$770 = 22 \times 35$

$770 = 28 \times ?$ （適さない）

$770 = 25 \times ?$ (適さない)

$28 \times \frac{770}{28} = 28 \times 27.5$

28の付近の整数で考えたほうが良い

$30 \times \frac{770}{30} = 30 \times 25.67$

22と35の差は13なので適さない。

因数分解しやすい組み合わせは、28と27.5などではない。

770 = 77 x 10 = 7 x 11 x 2 x 5 = 35 x 22 = 70 x 11 = 770

$770 = 28 \times 27.5$

$770 = 30 \times \frac{77}{3}$

$25 \times 30 = 750$.

$28 \times 25 = 700$.

$770 = 22 * 35$. この差は13なので、探している組み合わせではない.

$x^2 + 3x - 770 = 0$　の因数分解が容易に見つからない場合は、解の公式を使います。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ に対して、$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。

今回の問題では、$a=1, b=3, c=-770$ なので、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-770)}}{2(1)}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 3080}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3089}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm 55.58}{2}$

$x = \frac{-3 + 55.58}{2} = \frac{52.58}{2} = 26.29$

$x = \frac{-3 - 55.58}{2} = \frac{-58.58}{2} = -29.29$

整数解を期待していたので、因数分解をもう一度試みる。

770 = 77 * 10 = 7 * 11 * 2 * 5

$x^2 + 3x - 770 = 0$

$(x-25)(x+28) = x^2 + 28x - 25x - 25*28 = x^2 + 3x -700$

因数分解は間違いだったので、整数解ではない。

素直に2次方程式を解く。

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-770)}}{2(1)}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 3080}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3089}}{2}$

$x = \frac{-3 \pm 55.57876}{2}$

$x = \frac{-3 + 55.57876}{2} = 26.28938 \approx 26.29$

$x = \frac{-3 - 55.57876}{2} = -29.28938 \approx -29.29$

画像内のOCRから$x^2 + 3x - 770=0$という式があるため、因数分解可能と仮定して再度検討する。

$25 * 30 = 750, 26 * 30 = 780$だから26付近を探す

$x^2 + 3x - 770 = (x+A)(x-B) = 0$ where $A-B = 3$ and $A*B = 770$

$25 * 30.8 = 770$

$28 * 27.5 = 770$

$770 = 22 * 35$ and $35-22 = 13$, this does not match the $A-B = 3$ criteria.

$770= 28 * 770/28 = 28 * 27.5$ and $28 - 27.5 = 0.5$

Therefore, there are no perfect factorizations.

$x(x+3)=770$

もし、この式が$x(x+3)=702$であれば、 $x(x+3)=26*27$となり、 $x=26$という整数解を得る。

3. 最終的な答え

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3089}}{2}$

$x \approx 26.29, -29.29$