2次形式 $2x^2 + axy + 8y^2$ が、$a$がある値より大きい場合に、正の値にも負の値にもなりうるような、$a$の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次形式 $2x^2 + axy + 8y^2$ が、$a$がある値より大きい場合に、正の値にも負の値にもなりうるような、$a$の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次形式を $f(x, y) = 2x^2 + axy + 8y^2$ とします。

この2次形式が正の値も負の値もとるためには、正定値でも負定値でもなく、不定値である必要があります。

$f(x, y)$ が不定値である条件は、判別式 $D = a^2 - 4(2)(8) > 0$ が成り立つことです。

$D = a^2 - 64 > 0$ を解くと、$a^2 > 64$ より、$a > 8$ または $a < -8$ となります。

問題文より、「aがある値より大きいなら正の値にも負の値にもなる」とあるので、$a>8$の場合を考えます。

このとき、$2x^2+axy+8y^2$が正の値も負の値もとるためには、$a>8$でなければならない。

3. 最終的な答え

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