与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} -1 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

-1 & 2 & -1 & 1 \\

1 & 3 & 1 & 0 \\

-1 & 2 & 0 & 0 \\

-3 & 2 & -1 & 2

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まずは３行目を使い余因子展開します。

$\begin{vmatrix}

-1 & 2 & -1 & 1 \\

1 & 3 & 1 & 0 \\

-1 & 2 & 0 & 0 \\

-3 & 2 & -1 & 2

\end{vmatrix} = (-1)(-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} + 2(-1)^{3+2} \begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$

次に、それぞれの3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2(2) + 1(6) + 1(-3-2) = 4+6-5 = 5$

$\begin{vmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = -1(2) + 1(2) + 1(-1+3) = -2+2+2 = 2$

したがって、元の4x4行列の行列式は次のようになります。

$(-1)(1)(5) + (2)(-1)(2) = -5 - 4 = -9$

3. 最終的な答え

-9