与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & -5 & -2 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算します。2行目に注目すると、非ゼロ要素は1つだけなので、2行目で余因子展開すると計算が簡単になります。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 0 & 3 \\

0 & 1 & 0 & 0 \\

0 & -5 & -2 & -2 \\

0 & 0 & 0 & 1

\end{vmatrix}

= (-1)^{2+2} \cdot 1 \cdot

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 3 \\

0 & -2 & -2 \\

0 & 0 & 1

\end{vmatrix}

$$

残った3x3行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積で計算できます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 3 \\

0 & -2 & -2 \\

0 & 0 & 1

\end{vmatrix}

= 1 \cdot (-2) \cdot 1 = -2

$$

したがって、元の行列の行列式は、

$$

1 \cdot (-2) = -2

$$

となります。

3. 最終的な答え

-2