2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ について、指定された定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $-1 \le x \le 1$ (2) $1 \le x \le 3$

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ について、指定された定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $-1 \le x \le 1$

(2) $1 \le x \le 3$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 1 = -(x-2)^2 + 5$

よって、この2次関数の頂点は $(2, 5)$ であり、上に凸なグラフです。

(1) $-1 \le x \le 1$ のとき

定義域に含まれる$x$の範囲は $-1 \le x \le 1$です。頂点の$x$座標である$x = 2$は定義域に含まれません。

$x = -1$のとき、$y = -(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1 - 4 + 1 = -4$

$x = 1$のとき、$y = -(1)^2 + 4(1) + 1 = -1 + 4 + 1 = 4$

定義域内の頂点からの距離を考慮すると、最大値は$x=1$のときの$y=4$、最小値は$x=-1$のときの$y=-4$です。

(2) $1 \le x \le 3$ のとき

定義域に含まれる$x$の範囲は $1 \le x \le 3$です。頂点の$x$座標である$x = 2$は定義域に含まれます。

$x = 1$のとき、$y = -(1)^2 + 4(1) + 1 = -1 + 4 + 1 = 4$

$x = 2$のとき、$y = -(2)^2 + 4(2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$

$x = 3$のとき、$y = -(3)^2 + 4(3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$

この定義域において、頂点の$y$座標が最大値となるため、最大値は$y=5$ ($x=2$)であり、最小値は$y=4$ ($x=1$または$x=3$)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $4$ ($x=1$のとき)、最小値: $-4$ ($x=-1$のとき)

(2) 最大値: $5$ ($x=2$のとき)、最小値: $4$ ($x=1, 3$のとき)