3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 15x - k = 0$ について、 (1) 異なる3個の実数解をもつときの $k$ の値の範囲を求める。 (2) ただ一つの実数解をもち、しかもそれが正の解であるときの $k$ の値の範囲を求める。 (3) 正の2重解と一つの負の解をもつときの $k$ の値を求め、そのときの負の解を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 15x - k = 0$ について、

(1) 異なる3個の実数解をもつときの $k$ の値の範囲を求める。

(2) ただ一つの実数解をもち、しかもそれが正の解であるときの $k$ の値の範囲を求める。

(3) 正の2重解と一つの負の解をもつときの $k$ の値を求め、そのときの負の解を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x$ とおくと、方程式は $f(x) = k$ となる。

$f(x)$ のグラフを描いて、 $y=k$ との交点を考える。

$f'(x) = 3x^2 + 12x - 15 = 3(x^2 + 4x - 5) = 3(x+5)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -5, 1$

$f(-5) = (-5)^3 + 6(-5)^2 - 15(-5) = -125 + 150 + 75 = 100$

$f(1) = 1^3 + 6(1)^2 - 15(1) = 1 + 6 - 15 = -8$

(1) 異なる3個の実数解をもつのは、$y=k$ が $f(x)$ の極大値と極小値の間にあるとき。

つまり、 $-8 < k < 100$

(2) ただ一つの実数解をもち、しかもそれが正の解であるのは、$k > 100$ のとき。

$x=1$ のとき極小値を持つので、このときより大きい $k$ であればよい。

(3) 正の2重解と一つの負の解をもつのは、$k = -8$ のとき。

このとき $x^3 + 6x^2 - 15x + 8 = 0$

$(x-1)^2(x+8) = 0$

正の2重解は $x=1$, 負の解は $x = -8$

3. 最終的な答え

(1) -8 < k < 100

(2) 100 < k

(3) k = -8, x = -8