$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x+y$ (2) $xy$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}+2}$ のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x+y$

(2) $xy$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ の計算

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}-2} = \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}+2} = \frac{1}{\sqrt{5}+2} \cdot \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$

次に、$x+y$ を計算します。

$x+y = (\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5}$

(2) $xy$ の計算

$x$ と $y$ はすでに与えられているので、そのまま掛け合わせるか、有理化後の式を使うことができます。

$xy = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = 5 - 4 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{5}$

(2) $xy = 1$