次の4つの2次不等式を解きます。 (1) $x^2 - 3x - 10 < 0$ (2) $x^2 + 8x - 9 \geq 0$ (3) $x^2 - 2x + 3 \geq 0$ (4) $5 \leq x^2 + 4x < 2x + 8$

はい、承知いたしました。2次不等式の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの2次不等式を解きます。

(1) $x^2 - 3x - 10 < 0$

(2) $x^2 + 8x - 9 \geq 0$

(3) $x^2 - 2x + 3 \geq 0$

(4) $5 \leq x^2 + 4x < 2x + 8$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 3x - 10 < 0$

左辺を因数分解します。

$(x - 5)(x + 2) < 0$

不等式を満たす$x$の範囲は$-2 < x < 5$です。

(2) $x^2 + 8x - 9 \geq 0$

左辺を因数分解します。

$(x + 9)(x - 1) \geq 0$

不等式を満たす$x$の範囲は$x \leq -9$または$x \geq 1$です。

(3) $x^2 - 2x + 3 \geq 0$

左辺を平方完成します。

$(x - 1)^2 + 2 \geq 0$

$(x - 1)^2$は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

したがって、$x$はすべての実数です。

(4) $5 \leq x^2 + 4x < 2x + 8$

この不等式は、以下の2つの不等式に分解できます。

$5 \leq x^2 + 4x$ かつ $x^2 + 4x < 2x + 8$

まず、$5 \leq x^2 + 4x$を解きます。

$x^2 + 4x - 5 \geq 0$

$(x + 5)(x - 1) \geq 0$

したがって、$x \leq -5$または$x \geq 1$です。

次に、$x^2 + 4x < 2x + 8$を解きます。

$x^2 + 2x - 8 < 0$

$(x + 4)(x - 2) < 0$

したがって、$-4 < x < 2$です。

2つの不等式を満たす$x$の範囲を求めます。

$x \leq -5$または$x \geq 1$と$-4 < x < 2$の共通範囲は、$1 \leq x < 2$です。

3. 最終的な答え

(1) $-2 < x < 5$

(2) $x \leq -9$ または $x \geq 1$

(3) すべての実数

(4) $1 \leq x < 2$