問題は、二項係数 $\binom{1/2}{n}$ を計算することです。ただし、$n \geq 2$ です。

1. 問題の内容

問題は、二項係数 $\binom{1/2}{n}$ を計算することです。ただし、$n \geq 2$ です。

2. 解き方の手順

二項係数の定義は以下の通りです。

$\binom{r}{n} = \frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-n+1)}{n!}$

この定義を用いて、$r = 1/2$ の場合を計算します。

$\binom{1/2}{n} = \frac{(1/2)(1/2-1)(1/2-2)\cdots(1/2-n+1)}{n!}$

$\binom{1/2}{n} = \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)\cdots((3-2n)/2)}{n!}$

$\binom{1/2}{n} = \frac{1(-1)(-3)\cdots(3-2n)}{2^n n!}$

分子の符号を考慮すると、$n \ge 2$ のとき、

$\binom{1/2}{n} = (-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3)}{2^n n!}$

分子に $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n-2)$ を掛けて割ることで、以下のように変形できます。

$\binom{1/2}{n} = (-1)^{n-1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3)}{2^n n!} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n-2)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n-2)}$

$\binom{1/2}{n} = (-1)^{n-1} \frac{(2n-2)!}{2^n n! 2^{n-1} (n-1)!}$

$\binom{1/2}{n} = (-1)^{n-1} \frac{(2n-2)!}{2^{2n-1} n! (n-1)!}$

$\binom{1/2}{n} = (-1)^{n-1} \frac{1}{2n-1} \frac{(2n-1)!}{2^{2n-1} n! (n-1)!}$

$\binom{1/2}{n} = (-1)^{n-1} \frac{1}{2n-1} \frac{(2n-2)!}{2^{2n-2} (n-1)! (n-1)!}$

ここで、$\binom{2n-2}{n-1} = \frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!}$ であるから

$\binom{1/2}{n} = \frac{(-1)^{n-1}}{2^{2n-1} n!} \frac{n}{n} (2n-2)! (2n-2)!/((n-1)!(n-1)!)$

$\binom{1/2}{n} = (-1)^{n-1} \frac{(2n-2)!}{(n-1)!n!}2^{1-2n}$

3. 最終的な答え

$\binom{1/2}{n} = \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^{2n-1}} \binom{2n-2}{n-1}$

$\binom{1/2}{n} = \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{(2n-2)!}{2^{2n-2}((n-1)!)^2} = (-1)^{n-1}\frac{(2n-2)!}{n! (n-1)! 2^{2n-2}}$

上記のどれかの形で答えられます。

例えば$n=2$のとき$\binom{1/2}{2} = \frac{(1/2)(-1/2)}{2!} = -\frac{1}{8}$

上記の結果を用いると$\binom{1/2}{2} = \frac{(-1)^1}{2 \cdot 2^3}\binom{2}{1} = -\frac{1}{16}2 = -\frac{1}{8}$ と一致します。

最終的な答え：$\binom{1/2}{n} = \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^{2n-1}} \binom{2n-2}{n-1}$