与えられた二次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求め、グラフがx軸に接するものがどれか答える問題です。具体的には、以下の6つの二次関数について、共有点の座標を求め、x軸に接するものを特定します。 (1) $y = x^2 - 5x + 4$ (2) $y = 2x^2 + x - 6$ (3) $y = x^2 + 3x - 2$ (4) $y = -x^2 + 6x - 9$ (5) $y = -3x^2 + x + 1$ (6) $y = 3x^2 + 6x + 3$

1. 問題の内容

与えられた二次関数のグラフとx軸の共有点の座標を求め、グラフがx軸に接するものがどれか答える問題です。具体的には、以下の6つの二次関数について、共有点の座標を求め、x軸に接するものを特定します。

(1) $y = x^2 - 5x + 4$

(2) $y = 2x^2 + x - 6$

(3) $y = x^2 + 3x - 2$

(4) $y = -x^2 + 6x - 9$

(5) $y = -3x^2 + x + 1$

(6) $y = 3x^2 + 6x + 3$

2. 解き方の手順

二次関数のグラフとx軸の共有点のx座標は、$y = 0$ としたときの二次方程式の実数解です。

また、二次関数がx軸に接するのは、二次方程式が重解を持つときで、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となるときです。

(1) $y = x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

$x = 1, 4$

共有点: $(1, 0), (4, 0)$

(2) $y = 2x^2 + x - 6 = 0$

$(2x - 3)(x + 2) = 0$

$x = \frac{3}{2}, -2$

共有点: $(\frac{3}{2}, 0), (-2, 0)$

(3) $y = x^2 + 3x - 2 = 0$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$

共有点: $(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, 0), (\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}, 0)$

(4) $y = -x^2 + 6x - 9 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

共有点: $(3, 0)$

判別式: $D = 6^2 - 4(-1)(-9) = 36 - 36 = 0$

(5) $y = -3x^2 + x + 1 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-3)(1)}}{2(-3)} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{-6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

共有点: $(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, 0), (\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, 0)$

(6) $y = 3x^2 + 6x + 3 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

共有点: $(-1, 0)$

判別式: $D = 6^2 - 4(3)(3) = 36 - 36 = 0$

x軸に接するものは、判別式が0になる(4)と(6)です。

3. 最終的な答え

共有点の座標：

(1) $(1, 0), (4, 0)$

(2) $(\frac{3}{2}, 0), (-2, 0)$

(3) $(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, 0), (\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}, 0)$

(4) $(3, 0)$

(5) $(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, 0), (\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, 0)$

(6) $(-1, 0)$

グラフがx軸に接するもの：(4), (6)