複素数 $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z_2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z_3 = -1$ を表す複素数平面上の点をそれぞれ A($z_1$), B($z_2$), C($z_3$) とする。0 でない複素数 $z$ に対し、$w = \frac{1}{z}$ によって $w$ を定める。$z$, $w$ が表す複素数平面上の点をそれぞれ P($z$), Q($w$)とする。 (1) Pが線分AB上を動くとき、Qの描く曲線を複素数平面上に図示せよ。 (2) Pが三角形ABCの3辺上を動くとき、Qの描く曲線を複素数平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

複素数 $z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z_2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$, $z_3 = -1$ を表す複素数平面上の点をそれぞれ A($z_1$), B($z_2$), C($z_3$) とする。0 でない複素数 $z$ に対し、$w = \frac{1}{z}$ によって $w$ を定める。$z$, $w$ が表す複素数平面上の点をそれぞれ P($z$), Q($w$)とする。

(1) Pが線分AB上を動くとき、Qの描く曲線を複素数平面上に図示せよ。

(2) Pが三角形ABCの3辺上を動くとき、Qの描く曲線を複素数平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

(1) Pが線分AB上を動くとき

線分AB上の点を $z$ とすると, ある実数 $t$ ($0 \leq t \leq 1$) を用いて

$z = (1-t)z_1 + t z_2 = (1-t)(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) + t(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - t\sqrt{3}i = \frac{1}{2} + (1-2t)\frac{\sqrt{3}}{2}i$

と表せる. したがって $w = \frac{1}{z} = \frac{1}{\frac{1}{2} + (1-2t)\frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{2}{1 + (1-2t)\sqrt{3}i} = \frac{2(1 - (1-2t)\sqrt{3}i)}{1 + 3(1-2t)^2} = \frac{2 - 2\sqrt{3}(1-2t)i}{1 + 3(1-4t+4t^2)} = \frac{2 - 2\sqrt{3}(1-2t)i}{12t^2 - 12t + 4} = \frac{1 - \sqrt{3}(1-2t)i}{6t^2 - 6t + 2}$

$w = x+iy$ とおくと

$x = \frac{1}{6t^2-6t+2} = \frac{1}{6(t-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}}$

$y = \frac{-\sqrt{3}(1-2t)}{6t^2-6t+2} = -\sqrt{3}(1-2t)x$

$x = \frac{1}{6(t-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}} > 0$

$t = 0$ のとき $x = \frac{1}{2}, y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$t = 1$ のとき $x = \frac{1}{2}, y = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}tx$

$x^2 + (y+\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{4}{3}$

線分 AB は $|z| = 1$ 上にあるので, $w = \frac{1}{z}$ は $|w| = 1$ 上にある。

$z_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ のとき $w_1 = \frac{1}{z_1} = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{2}{1 + \sqrt{3}i} = \frac{2(1 - \sqrt{3}i)}{1+3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = z_2$

$z_2 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ のとき $w_2 = \frac{1}{z_2} = \frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i} = \frac{2}{1 - \sqrt{3}i} = \frac{2(1 + \sqrt{3}i)}{1+3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = z_1$

したがって、Qは中心 (0,0), 半径 1 の円弧で、始点が$(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$, 終点が$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$となる。

(2) Pが三角形ABCの3辺上を動くとき

線分BC上: $z = (1-t)z_2 + tz_3 = (1-t)(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i) + t(-1) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i - t(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)$

線分CA上: $z = (1-t)z_3 + tz_1 = (1-t)(-1) + t(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -1 + t(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$

3. 最終的な答え

(1) Qは中心 (0,0), 半径 1 の円弧で、始点が$(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$, 終点が$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$となる。

(2) 省略