正の偶数の列を、各群に$n$個の数が入るように群に分ける。 (1) 第6群の最初の数を求める。 (2) $n \geq 2$のとき、第$n$群の最初の数を求める。 (3) 第20群に入るすべての数の和$S$を求める。 (4) 第$n$群に入るすべての数の和$S$を求める。

1. 問題の内容

正の偶数の列を、各群に$n$個の数が入るように群に分ける。

(1) 第6群の最初の数を求める。

(2) $n \geq 2$のとき、第$n$群の最初の数を求める。

(3) 第20群に入るすべての数の和$S$を求める。

(4) 第$n$群に入るすべての数の和$S$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 各群に含まれる偶数の個数と、偶数の数列の規則性に着目する。

(2)

ア：第1群から第$(n-1)$群までに入る数の個数は、初項1、末項$(n-1)$、項数$(n-1)$の等差数列の和であるから、

$1+2+3+\cdots+(n-1) = \frac{1}{2}(n-1)\{1 + (n-1)\} = \frac{1}{2}n(n-1)$。

イ：第$n$群の最初の数は、もとの偶数の列の第$\frac{1}{2}n(n-1)+1$項である。

ウ：したがって、第$n$群の最初の数は、

$2 \left[ \frac{1}{2}n(n-1) + 1 \right] = n(n-1) + 2 = n^2 - n + 2$

(3)

エ：$n=20$を(2)の結果に代入すると、第20群の初項は、$20^2 - 20 + 2 = 400 - 20 + 2 = 382$。

オ：公差は2。

カ：項数は20。

キ：よって、第20群に入るすべての数の和$S$は、初項382、公差2、項数20の等差数列の和であるから、

$S = \frac{20}{2} \{ 2 \cdot 382 + (20-1) \cdot 2 \} = 10(764 + 38) = 10(802) = 8020$。

(4) 第$n$群の最初の数は、 $n^2 - n + 2$。

第$n$群の最後の数は、第$n$群の初項から、$2(n-1)$を足した数であるから、

$n^2 - n + 2 + 2(n-1) = n^2 - n + 2 + 2n - 2 = n^2 + n$。

第$n$群には$n$個の数があるから、和$S$は、

$S = \frac{n}{2} \{ (n^2 - n + 2) + (n^2 + n) \} = \frac{n}{2} (2n^2 + 2) = n(n^2 + 1) = n^3 + n$

3. 最終的な答え

(1) 32

(2) ア：$\frac{1}{2}n(n-1)$、イ：$\frac{1}{2}n(n-1)+1$、ウ：$n^2 - n + 2$

(3) エ：382、オ：2、カ：20、キ：8020

(4) $S = n^3 + n$