与えられた6つの2次関数について、そのグラフとx軸との共有点の個数を求める問題です。

代数学二次関数判別式グラフ共有点
2025/7/13

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、そのグラフとx軸との共有点の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c のグラフとx軸との共有点の個数は、2次方程式 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 の実数解の個数に等しくなります。実数解の個数は、判別式 D=b24acD = b^2 - 4ac の符号によって決まります。
- D>0D > 0 のとき、実数解は2個(共有点は2個)
- D=0D = 0 のとき、実数解は1個(共有点は1個)
- D<0D < 0 のとき、実数解は0個(共有点は0個)
各2次関数について、判別式を計算し、共有点の個数を求めます。
(1) y=x23x+1y = x^2 - 3x + 1
D=(3)24(1)(1)=94=5>0D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5 > 0
共有点の個数:2個
(2) y=2x2+x+2y = 2x^2 + x + 2
D=(1)24(2)(2)=116=15<0D = (1)^2 - 4(2)(2) = 1 - 16 = -15 < 0
共有点の個数:0個
(3) y=4x2+4x1y = -4x^2 + 4x - 1
D=(4)24(4)(1)=1616=0D = (4)^2 - 4(-4)(-1) = 16 - 16 = 0
共有点の個数:1個
(4) y=x2+3x3y = -x^2 + 3x - 3
D=(3)24(1)(3)=912=3<0D = (3)^2 - 4(-1)(-3) = 9 - 12 = -3 < 0
共有点の個数:0個
(5) y=x2+3x+94y = x^2 + 3x + \frac{9}{4}
D=(3)24(1)(94)=99=0D = (3)^2 - 4(1)(\frac{9}{4}) = 9 - 9 = 0
共有点の個数:1個
(6) y=13x2+2x+6y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 6
D=(2)24(13)(6)=4+8=12>0D = (2)^2 - 4(-\frac{1}{3})(6) = 4 + 8 = 12 > 0
共有点の個数:2個

3. 最終的な答え

(1) 2個
(2) 0個
(3) 1個
(4) 0個
(5) 1個
(6) 2個

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