## (1) 問題の内容

## (1) 問題の内容

$x^2 - 4|x| + 3 = 0$ を解く問題です。

## (2) 解き方の手順

絶対値記号があるので、$x$ の範囲で場合分けします。

1. $x \geq 0$ のとき、 $|x| = x$ なので、方程式は $x^2 - 4x + 3 = 0$ となります。これを因数分解すると、$(x-1)(x-3) = 0$ となり、$x=1, 3$ を得ます。どちらも $x \geq 0$ を満たすので、解となります。

2. $x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ なので、方程式は $x^2 + 4x + 3 = 0$ となります。これを因数分解すると、$(x+1)(x+3) = 0$ となり、$x=-1, -3$ を得ます。どちらも $x < 0$ を満たすので、解となります。

## (3) 最終的な答え

$x = -3, -1, 1, 3$

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## (2) 問題の内容

$|x^2 - 2x| = x - 1$ を解く問題です。

## (2) 解き方の手順

絶対値記号があるので、中身の符号によって場合分けします。

1. $x^2 - 2x \geq 0$ のとき、 $|x^2 - 2x| = x^2 - 2x$ なので、方程式は $x^2 - 2x = x - 1$ となります。整理すると $x^2 - 3x + 1 = 0$ となり、解の公式から $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ を得ます。$x^2 - 2x = x(x-2) \geq 0$ となるのは、$x \leq 0$ または $x \geq 2$ のときです。

* $x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.6 > 2$ なので、解となります。

* $x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.4 < 2$ なので、解ではありません。

2. $x^2 - 2x < 0$ のとき、 $|x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x)$ なので、方程式は $-x^2 + 2x = x - 1$ となります。整理すると $x^2 - x - 1 = 0$ となり、解の公式から $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ を得ます。$x^2 - 2x = x(x-2) < 0$ となるのは、$0 < x < 2$ のときです。

* $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6 \in (0, 2)$ であり、かつ $x-1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} > 0$ を満たすため、解となります。

* $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.6 \notin (0, 2)$ なので、解ではありません。

また、$x-1 \geq 0$ である必要があるので、$x \geq 1$でなければなりません。

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.4 < 1$なので不適。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.6 > 1$なので適。

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6 > 1$なので適。

## (3) 最終的な答え

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

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## (3) 問題の内容

$\sqrt{(x-2)^2} = 3x + 5$ を解く問題です。

## (2) 解き方の手順

$\sqrt{A^2} = |A|$ を利用します。したがって、 $|x-2| = 3x+5$となります。絶対値記号があるので、中身の符号によって場合分けします。

1. $x \geq 2$ のとき、$|x-2| = x-2$ なので、$x-2 = 3x+5$ となります。整理すると $-2x = 7$ となり、$x = -\frac{7}{2}$ を得ます。これは $x \geq 2$ を満たさないので、解ではありません。

2. $x < 2$ のとき、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ なので、$2-x = 3x+5$ となります。整理すると $-4x = 3$ となり、$x = -\frac{3}{4}$ を得ます。これは $x < 2$ を満たします。

また、$3x+5 \geq 0$でなければならないので、$x \geq -\frac{5}{3}$。

$-\frac{5}{3} < -\frac{3}{4} < 2$ なので、解となります。

## (3) 最終的な答え

$x = -\frac{3}{4}$

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## (4) 問題の内容

$|x-1| + 2|x-3| \leq 11$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

## (2) 解き方の手順

絶対値記号が2つあるので、$x$ の範囲で場合分けします。

1. $x \leq 1$ のとき、$|x-1| = 1-x$ かつ $|x-3| = 3-x$ なので、$1-x + 2(3-x) \leq 11$ となります。整理すると $1 - x + 6 - 2x \leq 11$ より $-3x \leq 4$ となり、$x \geq -\frac{4}{3}$ を得ます。したがって、 $-\frac{4}{3} \leq x \leq 1$ が解となります。

2. $1 < x \leq 3$ のとき、$|x-1| = x-1$ かつ $|x-3| = 3-x$ なので、$x-1 + 2(3-x) \leq 11$ となります。整理すると $x - 1 + 6 - 2x \leq 11$ より $-x \leq 6$ となり、$x \geq -6$ を得ます。したがって、$1 < x \leq 3$ が解となります。

3. $x > 3$ のとき、$|x-1| = x-1$ かつ $|x-3| = x-3$ なので、$x-1 + 2(x-3) \leq 11$ となります。整理すると $x - 1 + 2x - 6 \leq 11$ より $3x \leq 18$ となり、$x \leq 6$ を得ます。したがって、$3 < x \leq 6$ が解となります。

以上の結果を合わせると、$-\frac{4}{3} \leq x \leq 6$ が解となります。

## (3) 最終的な答え

$-\frac{4}{3} \leq x \leq 6$

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## (5) 問題の内容

$|(x-2)^2 - 1| \geq 1$ を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

## (2) 解き方の手順

絶対値記号があるので、中身の符号によって場合分けします。

1. $(x-2)^2 - 1 \geq 0$ のとき、$|(x-2)^2 - 1| = (x-2)^2 - 1$ なので、$(x-2)^2 - 1 \geq 1$ となります。整理すると $(x-2)^2 \geq 2$ となり、$x-2 \geq \sqrt{2}$ または $x-2 \leq -\sqrt{2}$ となります。したがって、$x \geq 2 + \sqrt{2}$ または $x \leq 2 - \sqrt{2}$ となります。

また、$(x-2)^2 - 1 \geq 0$ なので、 $(x-2)^2 \geq 1$ となり、$x-2 \geq 1$ または $x-2 \leq -1$ となります。したがって、$x \geq 3$ または $x \leq 1$ となります。

よって、$x \geq 2 + \sqrt{2}$ または $x \leq 2 - \sqrt{2}$ が $(x-2)^2 - 1 \geq 0$ を満たしている必要があります。

2. $(x-2)^2 - 1 < 0$ のとき、$|(x-2)^2 - 1| = -((x-2)^2 - 1) = 1 - (x-2)^2$ なので、$1 - (x-2)^2 \geq 1$ となります。整理すると $(x-2)^2 \leq 0$ となり、$x = 2$ を得ます。しかし、これは $(x-2)^2 - 1 < 0$ を満たさないので、解ではありません。

よって、$x \geq 2 + \sqrt{2}$ または $x \leq 2 - \sqrt{2}$ です。

$(x-2)^2 \geq 2$ ということは、$x \geq 2 + \sqrt{2}$ または $x \leq 2 - \sqrt{2}$ です。

$2 + \sqrt{2} \approx 3.414$

$2 - \sqrt{2} \approx 0.586$

## (3) 最終的な答え

$x \geq 2 + \sqrt{2}$ または $x \leq 2 - \sqrt{2}$