$a$を定数とする。関数 $y = x^2 - 2x + 3$ （$a \le x \le a+2$）の最小値を、次の各場合について求めよ。 (1) $a < -1$ (2) $-1 \le a \le 1$ (3) $1 < a$

1. 問題の内容

$a$を定数とする。関数 $y = x^2 - 2x + 3$ （$a \le x \le a+2$）の最小値を、次の各場合について求めよ。

(1) $a < -1$

(2) $-1 \le a \le 1$

(3) $1 < a$

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 2x + 3$ を平方完成する。

$y = (x-1)^2 - 1 + 3 = (x-1)^2 + 2$

これは、軸が $x=1$ で、頂点が $(1, 2)$ の下に凸な放物線である。

(1) $a < -1$ のとき

定義域 $a \le x \le a+2$ は、常に軸 $x=1$ より左側にある。

よって、$x=a+2$ で最小値をとる。

$y = (a+2)^2 - 2(a+2) + 3 = a^2 + 4a + 4 - 2a - 4 + 3 = a^2 + 2a + 3$

(2) $-1 \le a \le 1$ のとき

定義域 $a \le x \le a+2$ は、軸 $x=1$ を含む可能性がある。

軸 $x=1$ が定義域に含まれる条件は、$a \le 1 \le a+2$ である。

この条件は、$a \le 1$ かつ $a \ge -1$ であり、$-1 \le a \le 1$ となる。

よって、この範囲では常に軸が定義域に含まれるので、$x=1$ で最小値をとる。

$y = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

(3) $1 < a$ のとき

定義域 $a \le x \le a+2$ は、常に軸 $x=1$ より右側にある。

よって、$x=a$ で最小値をとる。

$y = a^2 - 2a + 3$

3. 最終的な答え

(1) $a < -1$ のとき、最小値は $a^2 + 2a + 3$

(2) $-1 \le a \le 1$ のとき、最小値は $2$

(3) $1 < a$ のとき、最小値は $a^2 - 2a + 3$