二次方程式に関する問題です。 (1) 解が与えられたときの定数の値を求める問題。 (2) 2つの二次方程式について、重解を持つ条件、虚数解を持つ条件、少なくとも一方が実数解を持つ条件を求める問題。 (3) 二次方程式の解と係数の関係、解の2乗を解に持つ二次方程式を求める問題。 (4) 二次方程式が異なる2つの負の解を持つ条件を求める問題。

1. 問題の内容

二次方程式に関する問題です。

(1) 解が与えられたときの定数の値を求める問題。

(2) 2つの二次方程式について、重解を持つ条件、虚数解を持つ条件、少なくとも一方が実数解を持つ条件を求める問題。

(3) 二次方程式の解と係数の関係、解の2乗を解に持つ二次方程式を求める問題。

(4) 二次方程式が異なる2つの負の解を持つ条件を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $x=p$ を $x^2 - 2px + 5p - 6 = 0$ に代入して、$p$ に関する方程式を解きます。

$p^2 - 2p^2 + 5p - 6 = 0$

$-p^2 + 5p - 6 = 0$

$p^2 - 5p + 6 = 0$

$(p-2)(p-3) = 0$

$p=2, 3$

ただし、$ア < イ$ であるので、$p=2, 3$ を条件に当てはめます。

$2 < 3$ なので、条件を満たします。

(2)(i) ①$2x^2 - 3x + k = 0$ が重解を持つとき、判別式 $D = (-3)^2 - 4(2)(k) = 9 - 8k = 0$ より、$k = \frac{9}{8}$。

このとき、重解は $x = \frac{-(-3)}{2(2)} = \frac{3}{4}$。

②$x^2 - 2(k+1)x + (k^2+4) = 0$ が虚数解を持つとき、判別式 $D = (-2(k+1))^2 - 4(k^2+4) = 4(k^2+2k+1) - 4(k^2+4) = 4(2k-3) < 0$ より、$k < \frac{3}{2}$。

(2)(ii) ①または②が実数解を持つのは、①が実数解を持つか、②が実数解を持つ場合です。

①が実数解を持つ条件は、$D \ge 0$ より、$k \le \frac{9}{8}$。

②が実数解を持つ条件は、$D \ge 0$ より、$k \ge \frac{3}{2}$。

したがって、①または②が実数解を持つのは、$k \le \frac{9}{8}$ または $k \ge \frac{3}{2}$。

(3)(i) $3x^2 - 5x + 4 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とするとき、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{-(-5)}{3} = \frac{5}{3}$

$\alpha \beta = \frac{4}{3}$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (\frac{5}{3})^2 - 2(\frac{4}{3}) = \frac{25}{9} - \frac{24}{9} = \frac{1}{9}$

(3)(ii) $\alpha^2, \beta^2$ を解に持つ二次方程式は、

$(x - \alpha^2)(x - \beta^2) = x^2 - (\alpha^2 + \beta^2)x + \alpha^2 \beta^2 = 0$

$x^2 - \frac{1}{9}x + (\frac{4}{3})^2 = x^2 - \frac{1}{9}x + \frac{16}{9} = 0$

$9x^2 - x + 16 = 0$

(4) $2x^2 + 3x + (a-2) = 0$ が異なる2つの負の解を持つ条件は、

判別式 $D = 3^2 - 4(2)(a-2) = 9 - 8a + 16 = 25 - 8a > 0$ より、$a < \frac{25}{8}$。

解の和 $\alpha + \beta = -\frac{3}{2} < 0$ (常に成立)。

解の積 $\alpha \beta = \frac{a-2}{2} > 0$ より、$a > 2$。

したがって、$2 < a < \frac{25}{8}$。

3. 最終的な答え

(1) $p=2, 3$

(2)(i) $k = \frac{9}{8}$, $x = \frac{3}{4}$、 $k < \frac{3}{2}$

(2)(ii) $k \le \frac{9}{8}, k \ge \frac{3}{2}$

(3)(i) $\alpha + \beta = \frac{5}{3}$, $\alpha \beta = \frac{4}{3}$, $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{1}{9}$

(3)(ii) $9x^2 - x + 16 = 0$

(4) $2 < a < \frac{25}{8}$