$x$ を実数とし、条件 $p$, $q$, $r$ が次のように定められている。 $p$: $x$ は1桁の素数 $q$: $x$ は1桁の正の奇数 $r$: $x$ は2次方程式 $x^2 - 8x + 15 = 0$ の解 このとき、(1) $p$ は $q$ であるための、(2) $q$ は $r$ であるための、(3) $r$ は $p$ であるための条件をそれぞれ答える。選択肢は「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」の4つである。

1. 問題の内容

$x$ を実数とし、条件 $p$, $q$, $r$ が次のように定められている。

$p$: $x$ は1桁の素数

$q$: $x$ は1桁の正の奇数

$r$: $x$ は2次方程式 $x^2 - 8x + 15 = 0$ の解

このとき、(1) $p$ は $q$ であるための、(2) $q$ は $r$ であるための、(3) $r$ は $p$ であるための条件をそれぞれ答える。選択肢は「必要条件であるが十分条件ではない」、「十分条件であるが必要条件ではない」、「必要十分条件である」、「必要条件でも十分条件でもない」の4つである。

2. 解き方の手順

(1) $p$ は $q$ であるための条件

$p$: $x$ は1桁の素数。1桁の素数は $2, 3, 5, 7$ である。

$q$: $x$ は1桁の正の奇数。1桁の正の奇数は $1, 3, 5, 7, 9$ である。

$p \Rightarrow q$ は真である($p$を満たす$x$は必ず$q$を満たす)。

$q \Rightarrow p$ は偽である($q$を満たす$x=1,9$は$p$を満たさない)。

したがって、$p$ は $q$ であるための十分条件であるが必要条件ではない。

(2) $q$ は $r$ であるための条件

$q$: $x$ は1桁の正の奇数。1桁の正の奇数は $1, 3, 5, 7, 9$ である。

$r$: $x$ は2次方程式 $x^2 - 8x + 15 = 0$ の解。

$x^2 - 8x + 15 = (x-3)(x-5) = 0$ より、$x = 3, 5$

$q \Rightarrow r$ は偽である($q$を満たす$x=1,7,9$は$r$を満たさない)。

$r \Rightarrow q$ は真である($r$を満たす$x=3,5$は必ず$q$を満たす)。

したがって、$q$ は $r$ であるための必要条件であるが十分条件ではない。

(3) $r$ は $p$ であるための条件

$p$: $x$ は1桁の素数。1桁の素数は $2, 3, 5, 7$ である。

$r$: $x$ は2次方程式 $x^2 - 8x + 15 = 0$ の解。$x = 3, 5$

$r \Rightarrow p$ は真である($r$を満たす$x=3,5$は必ず$p$を満たす)。

$p \Rightarrow r$ は偽である($p$を満たす$x=2,7$は$r$を満たさない)。

したがって、$r$ は $p$ であるための十分条件であるが必要条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) $p$ は $q$ であるための**十分条件であるが必要条件ではない**。

(2) $q$ は $r$ であるための**必要条件であるが十分条件ではない**。

(3) $r$ は $p$ であるための**十分条件であるが必要条件ではない**。