次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。 $$\int_{a}^{x} f(t) dt = 3x^2 - 2x - a$$

1. 問題の内容

次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。

$$\int_{a}^{x} f(t) dt = 3x^2 - 2x - a$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺を $x$ で微分します。

$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (3x^2 - 2x - a)$$

左辺は微積分学の基本定理により、

$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$$

右辺は、

$$\frac{d}{dx} (3x^2 - 2x - a) = 6x - 2$$

したがって、

$$f(x) = 6x - 2$$

次に、求めた $f(x)$ を元の積分に代入します。

$$\int_{a}^{x} (6t - 2) dt = 3x^2 - 2x - a$$

左辺を計算します。

$$\int_{a}^{x} (6t - 2) dt = [3t^2 - 2t]_{a}^{x} = (3x^2 - 2x) - (3a^2 - 2a)$$

したがって、

$$3x^2 - 2x - (3a^2 - 2a) = 3x^2 - 2x - a$$

$$3a^2 - 2a = a$$

$$3a^2 - 3a = 0$$

$$3a(a - 1) = 0$$

よって、$a = 0$ または $a = 1$。

3. 最終的な答え

$f(x) = 6x - 2$

$a = 0, 1$