4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つか。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つか。

2. 解き方の手順

方程式を $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$ とおく。

正の解の個数を調べるために、まず $x$ が大きいところで $f(x)$ がどうなるかを考える。$x$ が十分大きいとき、$3x^4$ の項が支配的になるので、$f(x) > 0$ となる。

次に、簡単な値を代入して、関数の符号を調べる。

$f(0) = 5 > 0$

$f(1) = 3 - 4 - 12 + 5 = -8 < 0$

$f(2) = 3(16) - 4(8) - 12(4) + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27 < 0$

$f(3) = 3(81) - 4(27) - 12(9) + 5 = 243 - 108 - 108 + 5 = 32 > 0$

したがって、$0 < x < 1$ の範囲には解がなく、$1 < x < 3$ の範囲に少なくとも2つの解がある。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, 2, -1$ のときである。

$x > 0$ の範囲では、$x = 0, 2$ が極値を与える。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 5$

$x = 2$ のとき、$f(2) = -27$

$f(1) = -8 < 0$ かつ $f(3) = 32 > 0$ なので、$2 < x < 3$ の範囲に少なくとも1つの解がある。

また、$f(0) = 5 > 0$ かつ $f(1) = -8 < 0$ なので、$0 < x < 1$ の範囲に少なくとも1つの解がある。

$f(x)$ は $x=0$ で極大値をとり、$f(0) = 5 > 0$ である。

$f(x)$ は $x=2$ で極小値をとり、$f(2) = -27 < 0$ である。

$x$ が十分に大きければ $f(x) > 0$ である。

したがって、正の解は2つある。

3. 最終的な答え

2個