4次方程式 $3x^4 + 4x^3 - k = 0$ が異なる2つの実数解をもつような、$k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 + 4x^3 - k = 0$ が異なる2つの実数解をもつような、$k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = 3x^4 + 4x^3$ とおきます。

$3x^4 + 4x^3 - k = 0$ が異なる2つの実数解を持つことは、$y=f(x)$ のグラフと $y=k$ のグラフが異なる2点で交わることと同値です。

$f(x)$ の増減を調べるために、導関数を計算します。

$f'(x) = 12x^3 + 12x^2 = 12x^2(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, -1$ のときです。

$f(x)$ の増減表は次のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... |

| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | | 増加 |

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 3(-1)^4 + 4(-1)^3 = 3 - 4 = -1$

$x = 0$ のとき、$f(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 = 0$

$y = f(x)$ のグラフは、$x=-1$ で極小値 $-1$ をとり、$x=0$ で $x$軸に接するようなグラフになります。

$y=f(x)$ のグラフと $y=k$ のグラフが異なる2点で交わるのは、$k=-1$ の場合と、$k > 0$ の場合です。

3. 最終的な答え

$k = -1, k > 0$