3次方程式 $x^3 - x^2 - x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を全て求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - x^2 - x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を $f(x) = x^3 - x^2 - x + a$ とします。3次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、グラフ $y = f(x)$ が $x$ 軸と異なる2点で交わる必要があります。これは、関数 $f(x)$ が極値を持ち、そのうちの1つの極値が $x$ 軸と接する（極値が0になる）ことを意味します。

1. $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは極値を与える $x$ の値です。

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

$(3x + 1)(x - 1) = 0$

$x = 1, -\frac{1}{3}$

3. $f(x)$ が $x = 1$ と $x = -\frac{1}{3}$ で極値を持ちます。それぞれの極値を計算します。

$f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + a = 1 - 1 - 1 + a = a - 1$

$f(-\frac{1}{3}) = (-\frac{1}{3})^3 - (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) + a = -\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + a = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + a = \frac{5}{27} + a$

4. $f(x)$ が異なる2つの実数解を持つためには、以下のいずれかの条件が成立する必要があります。

* $f(1) = 0$ または $f(-\frac{1}{3}) = 0$

* $f(1) = 0$ のとき: $a - 1 = 0$ より $a = 1$

* $f(-\frac{1}{3}) = 0$ のとき: $\frac{5}{27} + a = 0$ より $a = -\frac{5}{27}$

* もう一つの極値が0でない

5. 求めた $a$ の値に対して、$f(1) = 0$ と $f(-\frac{1}{3}) = 0$ が同時に成立することはないので、$a = 1$ または $a = -\frac{5}{27}$ が求める答えです。

* $a = 1$ のとき、$f(x) = x^3 - x^2 - x + 1 = (x - 1)(x^2 - 1) = (x - 1)(x - 1)(x + 1) = (x - 1)^2 (x + 1)$ となり、異なる実数解は $x = 1$ と $x = -1$ の2つです。

* $a = -\frac{5}{27}$ のとき、$f(x) = x^3 - x^2 - x - \frac{5}{27} = (x + \frac{1}{3})(x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{5}{9})=(x+\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3})(x-\frac{5}{3})=(x+\frac{1}{3})^2(x-\frac{5}{3})$ となり、異なる実数解は $x = -\frac{1}{3}$ と $x = \frac{5}{3}$ の2つです。

3. 最終的な答え

$a = 1, -\frac{5}{27}$