5つの文字a, a, b, b, cから3個を選び、1列に並べるとき、その並べ方は何通りあるか。

## 問題1

1. 問題の内容

5つの文字a, a, b, b, cから3個を選び、1列に並べるとき、その並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 3つの文字の選び方を考える。

* (i) 3つとも異なる文字（a, b, c）：この場合、3! = 6通りの並べ方がある。

* (ii) 同じ文字2つと異なる文字1つ：同じ文字はaかbなので、2通りある。異なる文字は、aが2つ選ばれた場合はb,cの2通り。bが2つ選ばれた場合はa,cの2通り。したがって、2 * 2 = 4通りの選び方がある。それぞれの選び方に対して、3!/2! = 3通りの並べ方がある。したがって、4 * 3 = 12通り。

* (iii) 同じ文字3つ：これはありえない。

* 上記の場合の数を合計する。

3. 最終的な答え

6 + 12 = 18通り

## 問題2 (1)

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げるとき、目の和が6になる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 大中小のサイコロの目をそれぞれx, y, zとすると、$x + y + z = 6$となる整数解の組み合わせを考える。ただし、$1 \le x, y, z \le 6$である。

* $x' = x - 1, y' = y - 1, z' = z - 1$とすると、$x' + y' + z' = 3$となる非負整数解の組み合わせを考えることになる。

* これは、3個の玉と2つの仕切りを並べる場合の数と同じであり、$\frac{(3+2)!}{3!2!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。

3. 最終的な答え

10通り

## 問題2 (2)

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げるとき、目の積が20になる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 大中小のサイコロの目をそれぞれx, y, zとすると、$xyz = 20$となる整数解の組み合わせを考える。ただし、$1 \le x, y, z \le 6$である。

* 20を素因数分解すると、$20 = 2 \times 2 \times 5$となる。

* サイコロの目の組み合わせとして考えられるのは、(1, 4, 5), (2, 2, 5)

* (1, 4, 5)の並べ方は3! = 6通り。

* (2, 2, 5)の並べ方は3!/2! = 3通り。

3. 最終的な答え

6 + 3 = 9通り

## 問題3 (1)

1. 問題の内容

1個のサイコロを2回投げるとき、目の積が8または10になる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 1回目と2回目のサイコロの目をそれぞれx, yとする。

* $xy = 8$となる組み合わせは、(2, 4), (4, 2)。

* $xy = 10$となる組み合わせは、(2, 5), (5, 2)。

* したがって、全部で2 + 2 = 4通り。

3. 最終的な答え

4通り

## 問題3 (2)

1. 問題の内容

1個のサイコロを2回投げるとき、目の積が20以上になる場合は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 1回目と2回目のサイコロの目をそれぞれx, yとする。

* $xy \ge 20$となる組み合わせを考える。

* x = 4の場合：y = 5, 6

* x = 5の場合：y = 4, 5, 6

* x = 6の場合：y = 4, 5, 6

* したがって、全部で2 + 3 + 3 = 8通り。

3. 最終的な答え

8通り