異なる色の9個の玉を以下の方法で分ける場合の数を求める問題です。 (1) 4個, 3個, 2個の3つの組に分ける。 (2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。 (3) 3個ずつの3つの組に分ける。 (4) 2個, 2個, 2個, 3個の4つの組に分ける。

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を以下の方法で分ける場合の数を求める問題です。

(1) 4個, 3個, 2個の3つの組に分ける。

(2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける。

(4) 2個, 2個, 2個, 3個の4つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 4個, 3個, 2個の組に分ける場合

まず、9個から4個を選ぶ組み合わせは ${9 \choose 4}$ 通り。

次に、残りの5個から3個を選ぶ組み合わせは ${5 \choose 3}$ 通り。

最後に、残りの2個から2個を選ぶ組み合わせは ${2 \choose 2}$ 通り。

よって、組み合わせの総数は ${9 \choose 4} \times {5 \choose 3} \times {2 \choose 2}$ で計算できます。

${9 \choose 4} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

${5 \choose 3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

${2 \choose 2} = \frac{2!}{2!0!} = 1$

したがって、

$126 \times 10 \times 1 = 1260$

(2) A, B, Cの組に3個ずつ分ける場合

まず、9個からAに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${9 \choose 3}$ 通り。

次に、残りの6個からBに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${6 \choose 3}$ 通り。

最後に、残りの3個からCに入れる3個を選ぶ組み合わせは ${3 \choose 3}$ 通り。

よって、組み合わせの総数は ${9 \choose 3} \times {6 \choose 3} \times {3 \choose 3}$ で計算できます。

${9 \choose 3} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$

${6 \choose 3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

${3 \choose 3} = \frac{3!}{3!0!} = 1$

したがって、

$84 \times 20 \times 1 = 1680$

(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合

まず、9個から3個を選ぶ組み合わせは ${9 \choose 3}$ 通り。

次に、残りの6個から3個を選ぶ組み合わせは ${6 \choose 3}$ 通り。

最後に、残りの3個から3個を選ぶ組み合わせは ${3 \choose 3}$ 通り。

ただし、この場合、3つの組に区別がないので、3!で割る必要があります。

よって、組み合わせの総数は $\frac{{9 \choose 3} \times {6 \choose 3} \times {3 \choose 3}}{3!}$ で計算できます。

$\frac{84 \times 20 \times 1}{3!} = \frac{1680}{6} = 280$

(4) 2個, 2個, 2個, 3個の組に分ける場合

まず、9個から3個を選ぶ組み合わせは ${9 \choose 3}$ 通り。

次に、残りの6個から2個を選ぶ組み合わせは ${6 \choose 2}$ 通り。

次に、残りの4個から2個を選ぶ組み合わせは ${4 \choose 2}$ 通り。

最後に、残りの2個から2個を選ぶ組み合わせは ${2 \choose 2}$ 通り。

ただし、この場合、2個の組が3つあるので、3!で割る必要があります。

よって、組み合わせの総数は $\frac{{9 \choose 3} \times {6 \choose 2} \times {4 \choose 2} \times {2 \choose 2}}{3!}$ で計算できます。

${9 \choose 3} = 84$

${6 \choose 2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

${4 \choose 2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

${2 \choose 2} = 1$

したがって、

$\frac{84 \times 15 \times 6 \times 1}{3!} = \frac{7560}{6} = 1260$

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 1260通り