問題は3つあります。 問題1：組み合わせの計算を求める。 (1) $_5C_1$ (2) $_{200}C_{199}$ 問題2：大人6人と子供4人の中から4人を選ぶときの選び方の数を求める。 (1) 大人2人と子供2人を選ぶ。 (2) 子供が1人も選ばれない。 (3) 大人が3人以上選ばれる。 問題3：7個の数字1,1,1,2,2,3,3をすべて使って7桁の整数を作る。 (1) 7桁の整数は何個作れるか。 (2) 7桁の偶数は何個作れるか。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題1：組み合わせの計算を求める。

(1) $_5C_1$

(2) $_{200}C_{199}$

問題2：大人6人と子供4人の中から4人を選ぶときの選び方の数を求める。

(1) 大人2人と子供2人を選ぶ。

(2) 子供が1人も選ばれない。

(3) 大人が3人以上選ばれる。

問題3：7個の数字1,1,1,2,2,3,3をすべて使って7桁の整数を作る。

(1) 7桁の整数は何個作れるか。

(2) 7桁の偶数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) $_5C_1$は、5個のものから1個を選ぶ組み合わせの数です。これは、$_5C_1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5$となります。

(2) $_{200}C_{199}$は、200個のものから199個を選ぶ組み合わせの数です。組み合わせの性質として、$_nC_r = _nC_{n-r}$が成り立ちます。したがって、$_{200}C_{199} = _{200}C_{200-199} = _{200}C_1 = \frac{200!}{1!(200-1)!} = \frac{200!}{1!199!} = \frac{200 \times 199!}{1 \times 199!} = 200$となります。

問題2：

(1) 大人2人と子供2人を選ぶ場合、大人6人から2人を選ぶ組み合わせは$_6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り、子供4人から2人を選ぶ組み合わせは$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。したがって、合計の選び方は$15 \times 6 = 90$通りです。

(2) 子供が1人も選ばれない場合、4人全員を大人から選ぶ必要があります。大人6人から4人を選ぶ組み合わせは$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

(3) 大人が3人以上選ばれる場合を考えます。これは、(i)大人が3人、子供が1人、または(ii)大人が4人、子供が0人の場合があります。

(i) 大人が3人、子供が1人：$_6C_3 \times _4C_1 = \frac{6!}{3!3!} \times \frac{4!}{1!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times 4 = 20 \times 4 = 80$通り

(ii) 大人が4人、子供が0人：これは(2)で求めたように15通りです。

したがって、合計は$80 + 15 = 95$通りです。

問題3：

(1) 7桁の整数を作る場合、同じものを含む順列の公式を使います。7つの数字の並べ方は$\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5040}{24} = 210$通りです。

(2) 7桁の偶数を作る場合、末尾が2である必要があります。末尾が2の場合、残りの6つの数字(1,1,1,2,3,3)を並べることになります。その並べ方は$\frac{6!}{3!1!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)(2 \times 1)} = \frac{720}{12} = 60$通りです。

3. 最終的な答え

問題1：

(1) 5

(2) 200

問題2：

(1) 90通り

(2) 15通り

(3) 95通り

問題3：

(1) 210個

(2) 60個