10人の子どもと5人の大人の中から5人を選ぶとき、次の選び方は何通りあるか。 (1) すべての選び方 (2) 子ども3人、大人2人を選ぶ (3) 特定の2人AとBが含まれる (4) 大人が少なくとも1人含まれる

1. 問題の内容

10人の子どもと5人の大人の中から5人を選ぶとき、次の選び方は何通りあるか。

(1) すべての選び方

(2) 子ども3人、大人2人を選ぶ

(3) 特定の2人AとBが含まれる

(4) 大人が少なくとも1人含まれる

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

15人の中から5人を選ぶ組み合わせなので、

$_{15}C_5$を計算する。

$_{15}C_5 = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$

(2) 子ども3人、大人2人を選ぶ

子ども10人から3人を選ぶ組み合わせは$_{10}C_3$通り。

大人5人から2人を選ぶ組み合わせは$_{5}C_2$通り。

それぞれの組み合わせの積が答えになる。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

$_{5}C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$120 \times 10 = 1200$

(3) 特定の2人AとBが含まれる

AとBは確定しているので、残り3人を選ぶ必要がある。

AとBは子どもであるか大人であるか、またはそれぞれ子どもの大人であるかによって場合分けが必要だが、問題文からはAとBが子どもか大人かは不明である。AとBがどちらも子供だと仮定して解くと、残りの3人は8人の子供と5人の大人、合計13人から選ぶことになる。

$_{13}C_3 = \frac{13!}{3!10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286$

(4) 大人が少なくとも1人含まれる

すべての選び方から、大人を一人も含まない選び方を引けば良い。

大人が1人も含まれない選び方とは、子ども10人から5人を選ぶことなので、$_{10}C_5$通り。

$_{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

すべての選び方は(1)より3003通りなので、

$3003 - 252 = 2751$

3. 最終的な答え

(1) 3003通り

(2) 1200通り

(3) 286通り（AとBが子どもであると仮定した場合）

(4) 2751通り