関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = ax + b$ が与えられており、合成関数 $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x - 1$ と $g(x) = ax + b$ が与えられており、合成関数 $(g \circ f)(x) = 4x + 5$ が成り立つとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $(g \circ f)(x)$ を計算します。これは $g(f(x))$ を意味します。

$f(x) = 2x - 1$ なので、$g(x) = ax+b$ に $x$ の代わりに $2x-1$ を代入します。

すると、$g(f(x)) = g(2x - 1) = a(2x - 1) + b$ となります。

これを展開すると、$g(f(x)) = 2ax - a + b$ となります。

問題文より、$(g \circ f)(x) = 4x + 5$ なので、$2ax - a + b = 4x + 5$ が成り立ちます。

この式がすべての $x$ について成り立つためには、 $x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、$2a = 4$ かつ $-a + b = 5$ が成り立ちます。

$2a = 4$ より、$a = 2$ となります。

次に、$-a + b = 5$ に $a = 2$ を代入すると、$-2 + b = 5$ となります。

よって、$b = 5 + 2 = 7$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 7$