一次関数 $f(x) = ax + b$ と $g(x) = x + c$ が与えられています。合成関数 $(f \circ g)(x) = 2x + 3$ と $(g \circ f)(x) = 2x + 1$ が与えられているとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

一次関数 $f(x) = ax + b$ と $g(x) = x + c$ が与えられています。合成関数 $(f \circ g)(x) = 2x + 3$ と $(g \circ f)(x) = 2x + 1$ が与えられているとき、定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数 $(f \circ g)(x)$ と $(g \circ f)(x)$ を計算します。

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+c) = a(x+c) + b = ax + ac + b$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(ax+b) = (ax+b) + c = ax + b + c$

与えられた条件から、以下の2つの式が得られます。

$ax + ac + b = 2x + 3$

$ax + b + c = 2x + 1$

これらの式から、以下の連立方程式を得ることができます。

$a = 2$

$ac + b = 3$

$b + c = 1$

$a = 2$ を $ac + b = 3$ に代入すると、

$2c + b = 3$

$b + c = 1$ より、$b = 1 - c$ であるから、これを $2c + b = 3$ に代入すると、

$2c + (1 - c) = 3$

$c + 1 = 3$

$c = 2$

$b + c = 1$ より、$b = 1 - c = 1 - 2 = -1$

したがって、$a = 2, b = -1, c = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$

$c = 2$