与えられた式 $x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2)$ を展開し、整理して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2)$ を展開し、整理して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの項を展開します。

$x(y^2 - z^2) = xy^2 - xz^2$

$y(z^2 - x^2) = yz^2 - yx^2$

$z(x^2 - y^2) = zx^2 - zy^2$

次に、これらの結果を足し合わせます。

$xy^2 - xz^2 + yz^2 - yx^2 + zx^2 - zy^2$

項を並び替えて、符号に注意して整理します。

$xy^2 - yx^2 - xz^2 + zx^2 + yz^2 - zy^2$

$= xy(y - x) - xz(z - x) + yz(z - y)$

$= xy(y - x) + xz(x - z) + yz(z - y)$

$= xy(y - x) + xz(x - y + y - z) + yz(z - y)$

$= xy(y - x) + xz(x - y) + xz(y - z) + yz(z - y)$

$= xy(y - x) - xz(y - x) + xz(y - z) - yz(y - z)$

$= (y - x)(xy - xz) + (y - z)(xz - yz)$

$= x(y - x)(y - z) - z(y-z)(y-x)$

$=(y-x)(y-z)(x-z)$

別の解き方:

$xy^2 - xz^2 + yz^2 - yx^2 + zx^2 - zy^2$

$=xy^2-yx^2+yz^2-xz^2+zx^2-zy^2$

$=xy(y-x) + z^2(y-x) - z(y^2-x^2)$

$=xy(y-x) + z^2(y-x) - z(y-x)(y+x)$

$=(y-x)(xy+z^2 - z(y+x))$

$=(y-x)(xy+z^2 - zx - zy)$

$=(y-x)(x(y-z) - z(y-z))$

$=(y-x)(y-z)(x-z)$

$=(x-y)(z-x)(z-y)*(-1)*(-1)$

3. 最終的な答え

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