行列 $P = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ と $Q = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 0 \\ -2 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列式の値を求めます。 (1) $|P|$ (2) $|Q|$ (3) $|2P|$ (4) $|{}^tPQ P Q ({}^tP)^{-1}|$

1. 問題の内容

行列 $P = \begin{pmatrix} -4 & 0 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ と $Q = \begin{pmatrix} 7 & 2 & 0 \\ -2 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、以下の行列式の値を求めます。

(1) $|P|$

(2) $|Q|$

(3) $|2P|$

(4) $|{}^tPQ P Q ({}^tP)^{-1}|$

2. 解き方の手順

(1) $|P|$ の計算

$|P|$ は行列 $P$ の行列式です。

$|P| = -4 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix}$

$|P| = -4(1 \cdot 2 - 3 \cdot 0) + 1(5 \cdot 0 - 1 \cdot (-3))$

$|P| = -4(2) + 1(3) = -8 + 3 = -5$

(2) $|Q|$ の計算

$|Q|$ は行列 $Q$ の行列式です。

$|Q| = 7 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -3 & -1 \end{vmatrix}$

$|Q| = 7(2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1)) - 2(-2 \cdot 0 - 3 \cdot (-3)) + 0$

$|Q| = 7(3) - 2(9) = 21 - 18 = 3$

(3) $|2P|$ の計算

$|2P|$ は行列 $2P$ の行列式です。$2P$ は $P$ の各要素を2倍したものです。

$n$ 次正方行列 $A$ に対して $|kA| = k^n |A|$ が成り立ちます。$P$ は3次正方行列なので、

$|2P| = 2^3 |P| = 8 |P| = 8(-5) = -40$

(4) $|{}^tP Q P Q ({}^tP)^{-1}|$ の計算

行列式の性質として、

$|AB| = |A| |B|$

$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$

$|{}^tA| = |A|$

を用いると、

$|{}^tP Q P Q ({}^tP)^{-1}| = |{}^tP| |Q| |P| |Q| |({}^tP)^{-1}|$

$= |P| |Q| |P| |Q| \frac{1}{|{}^tP|}$

$= |P| |Q| |P| |Q| \frac{1}{|P|}$

$= |Q|^2 |P|$

$= (3)^2 (-5) = 9(-5) = -45$

3. 最終的な答え

(1) $|P| = -5$

(2) $|Q| = 3$

(3) $|2P| = -40$

(4) $|{}^tP Q P Q ({}^tP)^{-1}| = -45$