与えられた数学の問題を解き、解答群から正しい選択肢を選ぶ。問題は、(1) (i) 平方根の計算、(ii) 不等式を満たす整数の個数と定数の範囲、(2) (i) 命題の真偽、(ii) 集合の要素数の範囲、で構成される。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、解答群から正しい選択肢を選ぶ。問題は、(1) (i) 平方根の計算、(ii) 不等式を満たす整数の個数と定数の範囲、(2) (i) 命題の真偽、(ii) 集合の要素数の範囲、で構成される。

2. 解き方の手順

(1) (i) $\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2}$ を計算する。

$a < 2b$ であることに注意すると、

$\sqrt{a^2 - 4ab + 4b^2} = \sqrt{(a-2b)^2} = |a-2b|$

$a < 2b$ より $a - 2b < 0$ なので、 $|a - 2b| = -(a - 2b) = -a + 2b$

よって、解答はウ。

(1) (ii) 2つの不等式を解く。

$\frac{13}{2} < 2(x + \frac{3}{4})$ より、

$\frac{13}{2} < 2x + \frac{3}{2}$

$13 < 4x + 3$

$10 < 4x$

$x > \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$

$5x + a \le 3(x+1)$ より、

$5x + a \le 3x + 3$

$2x \le 3 - a$

$x \le \frac{3-a}{2}$

整数 $x$ がちょうど3個存在するので、

整数 $x$ は 3, 4, 5 である。

よって、

$5 \le \frac{3-a}{2} < 6$

$10 \le 3 - a < 12$

$7 \le -a < 9$

$-9 < a \le -7$

よって、解答はウ。

(2) (i) 以下の命題の真偽を判定する。

① 5で割って3余る自然数は、自然数 $n$ を用いて $5n-2$ と表すことができる。

$5n - 2 = 5n - 5 + 3 = 5(n-1) + 3$ なので、 $n$ を $n+1$ に置き換えると $5n + 3$ と表せる。よって真。

② 平面上のすべての平行四辺形はひし形である。偽。

③ 実数 $x, y$ について、$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば、$x+y > 2$ かつ $xy > 1$ である。真。

④ すべての無限小数は無理数である。偽。(例: $0.333... = 1/3$)

よって、真であるものは①と③。解答はア。

(2) (ii) 全校生徒850人のうち、兄がいる生徒は512人、姉がいる生徒は447人であった。兄も姉もいない生徒のとり得る人数の範囲を求める。

兄がいる生徒の集合を A、姉がいる生徒の集合を B とすると、

$|A| = 512$, $|B| = 447$

兄も姉もいない生徒の人数は $850 - |A \cup B|$ である。

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

$|A \cup B| = 512 + 447 - |A \cap B| = 959 - |A \cap B|$

$|A \cap B|$ は最小で $\max(0, 512 + 447 - 850) = \max(0, 109) = 109$、最大で $\min(512, 447) = 447$ である。

$|A \cap B|$ が最小のとき、 $|A \cup B| = 959 - 109 = 850$

このとき、兄も姉もいない生徒の人数は $850 - 850 = 0$

$|A \cap B|$ が最大のとき、 $|A \cup B| = 959 - 447 = 512$

このとき、兄も姉もいない生徒の人数は $850 - 512 = 338$

よって、兄も姉もいない生徒のとり得る人数の範囲は 0人以上338人以下。解答はア。

3. 最終的な答え

1: ウ

2: ウ

3: ア

4: ア