三角形ABCの面積をS、外接円の半径をRとするとき、以下の等式を証明する。 (1) $S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$ (2) $S = \frac{abc}{4R}$

1. 問題の内容

三角形ABCの面積をS、外接円の半径をRとするとき、以下の等式を証明する。

(1) $S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$

(2) $S = \frac{abc}{4R}$

2. 解き方の手順

(1) $S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$ の証明

三角形の面積の公式より、 $S = \frac{1}{2}bc \sin A$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ であるから、

$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$ となる。

よって、$S = \frac{1}{2}bc \sin A$ に正弦定理から得られた $b = 2R \sin B$ と $c = 2R \sin C$ を代入すると、

$S = \frac{1}{2}(2R \sin B)(2R \sin C)\sin A = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$ となる。

したがって、$S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$ は証明された。

(2) $S = \frac{abc}{4R}$ の証明

(1)と同様に、三角形の面積の公式より、$S = \frac{1}{2}bc \sin A$ である。

正弦定理より、$\sin A = \frac{a}{2R}$ であるから、これを面積の公式に代入すると、

$S = \frac{1}{2}bc \frac{a}{2R} = \frac{abc}{4R}$ となる。

したがって、$S = \frac{abc}{4R}$ は証明された。

3. 最終的な答え

(1) $S = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$

(2) $S = \frac{abc}{4R}$