点$(5, 3)$を通り、直線$3x + y + 2 = 0$に垂直な直線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

点$(5, 3)$を通り、直線$3x + y + 2 = 0$に垂直な直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の傾きを求めます。

$3x + y + 2 = 0$を$y = -3x - 2$と変形すると、傾きは$-3$であることがわかります。

求める直線は、与えられた直線に垂直なので、傾きは$-3$の逆数の符号を反転させたものになります。つまり、傾きは$\frac{1}{3}$です。

点$(5, 3)$を通り、傾きが$\frac{1}{3}$の直線の方程式は、点傾斜式を用いて求められます。

点傾斜式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$は直線上の一点の座標、$m$は直線の傾きです。

この問題では、$(x_1, y_1) = (5, 3)$、$m = \frac{1}{3}$なので、

$y - 3 = \frac{1}{3}(x - 5)$

$y - 3 = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3}$

$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} + 3$

$y = \frac{1}{3}x - \frac{5}{3} + \frac{9}{3}$

$y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$

両辺に3を掛けると

$3y = x + 4$

$x - 3y + 4 = 0$

3. 最終的な答え

$x - 3y + 4 = 0$