$(3a-b)^4$ の展開式における $ab^3$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3a-b)^4$ の展開式における $ab^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。

$(x+y)^n$ の展開式は

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$

と表されます。

この問題では $x = 3a$, $y = -b$, $n = 4$ です。

$ab^3$ の項は $k=3$ のときに出現します。

したがって、

$\binom{4}{3} (3a)^{4-3} (-b)^3 = \binom{4}{3} (3a)^1 (-b)^3$

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 4$

$\binom{4}{3} (3a) (-b)^3 = 4 \cdot (3a) \cdot (-b^3) = -12ab^3$

したがって、$ab^3$ の項の係数は $-12$ です。

3. 最終的な答え

-12