$a$を正の実数とするとき、$(a-1)(\frac{4}{a} - 1)$が最大となるような$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を正の実数とするとき、$(a-1)(\frac{4}{a} - 1)$が最大となるような$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。

$$(a-1)\left(\frac{4}{a}-1\right) = a \cdot \frac{4}{a} - a - \frac{4}{a} + 1 = 4 - a - \frac{4}{a} + 1 = 5 - a - \frac{4}{a}$$

$f(a) = 5 - a - \frac{4}{a}$とおきます。

$a$は正の実数なので、$a>0$です。

相加相乗平均の関係より、

$$a + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 2\sqrt{4} = 4$$

したがって、

$$-a - \frac{4}{a} \leq -4$$

よって、

$$f(a) = 5 - a - \frac{4}{a} \leq 5 - 4 = 1$$

$f(a)$が最大値をとるのは、相加相乗平均の等号成立条件より、

$$a = \frac{4}{a}$$

$$a^2 = 4$$

$a$は正の実数なので、$a = 2$となります。

このとき、

$$f(2) = 5 - 2 - \frac{4}{2} = 5 - 2 - 2 = 1$$

したがって、$a=2$のとき、$(a-1)(\frac{4}{a}-1)$は最大値1をとります。

3. 最終的な答え

$a=2$