$a$ を正の実数とするとき、$(a-1)(\frac{4}{a}-1)$ が最大となる $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を正の実数とするとき、$(a-1)(\frac{4}{a}-1)$ が最大となる $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式 $(a-1)(\frac{4}{a}-1)$ を展開します。

$(a-1)(\frac{4}{a}-1) = a \cdot \frac{4}{a} - a \cdot 1 - 1 \cdot \frac{4}{a} + 1 \cdot 1 = 4 - a - \frac{4}{a} + 1 = 5 - a - \frac{4}{a}$

$5 - a - \frac{4}{a}$ が最大となる $a$ の値を求めることは、$a + \frac{4}{a}$ が最小となる $a$ の値を求めることと同じです。

$a$ は正の実数なので、相加平均・相乗平均の関係を用いることができます。

$a + \frac{4}{a} \geq 2\sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

等号が成立するのは、$a = \frac{4}{a}$ のときです。

$a^2 = 4$

$a = \pm 2$

$a$ は正の実数なので、$a = 2$ です。

したがって、$a + \frac{4}{a}$ の最小値は 4 で、$5 - a - \frac{4}{a}$ の最大値は $5 - 4 = 1$ であり、$a = 2$ のとき最大となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$