$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 13 = 0$ の解の一つが $2 - 3i$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数である。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 13 = 0$ の解の一つが $2 - 3i$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$a, b$ が実数なので、$x^3 + ax^2 + bx - 13 = 0$ の解の一つが $2 - 3i$ であるとき、共役複素数である $2 + 3i$ も解となる。

したがって、$x^3 + ax^2 + bx - 13 = 0$ は、$(x - (2 - 3i))(x - (2 + 3i)) = (x - 2 + 3i)(x - 2 - 3i) = (x-2)^2 - (3i)^2 = x^2 - 4x + 4 + 9 = x^2 - 4x + 13$ で割り切れる。

$x^3 + ax^2 + bx - 13$ を $x^2 - 4x + 13$ で割ると、

```

x + (a+4)

x^2-4x+13 | x^3 + ax^2 + bx - 13

x^3 - 4x^2 + 13x

--------------------

(a+4)x^2 + (b-13)x - 13

(a+4)x^2 - 4(a+4)x + 13(a+4)

-------------------------------

(b-13+4a+16)x - 13 - 13a - 52

(b+4a+3)x - 13a - 65

```

余りが $(b + 4a + 3)x - (13a + 65)$ となる。割り切れるので、

$b + 4a + 3 = 0$ かつ $13a + 65 = 0$ が成り立つ。

$13a + 65 = 0$ より $13a = -65$ なので、$a = -5$

$b + 4a + 3 = 0$ に $a = -5$ を代入すると、$b - 20 + 3 = 0$ より $b = 17$

このとき、与えられた方程式は $(x^2 - 4x + 13)(x - 1) = x^3 - 5x^2 + 17x - 13 = 0$ となる。

よって、$x = 1, 2 \pm 3i$

3. 最終的な答え

$a = -5$

$b = 17$