周囲が100cmの長方形があり、その面積が400平方センチメートル以上になるようにしたい。短い辺の長さをどのような範囲にすれば良いか。ただし、短い辺の長さは25cm未満とする。

1. 問題の内容

周囲が100cmの長方形があり、その面積が400平方センチメートル以上になるようにしたい。短い辺の長さをどのような範囲にすれば良いか。ただし、短い辺の長さは25cm未満とする。

2. 解き方の手順

短い辺の長さを $x$ cmとする。長方形の周囲が100cmなので、長い辺の長さは $\frac{100-2x}{2} = 50 - x$ cmと表せる。

長方形の面積は $x(50-x)$ 平方センチメートルである。

面積が400平方センチメートル以上であることから、以下の不等式が成り立つ。

$x(50-x) \ge 400$

これを解くと、

$50x - x^2 \ge 400$

$x^2 - 50x + 400 \le 0$

この二次不等式を解くために、$x^2 - 50x + 400 = 0$の解を求める。

解の公式より、

$x = \frac{-(-50) \pm \sqrt{(-50)^2 - 4(1)(400)}}{2(1)} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1600}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{50 \pm 30}{2}$

したがって、$x = \frac{50+30}{2} = 40$ または $x = \frac{50-30}{2} = 10$

$x^2 - 50x + 400 \le 0$ の解は $10 \le x \le 40$ となる。

しかし、問題文より、短い辺の長さは25cm未満なので、$x < 25$ という条件が加わる。

したがって、$10 \le x < 25$

3. 最終的な答え

短い辺の長さを10cm以上25cm未満にすればよい。