点 $(-2, 1)$ と直線 $3x - 2y + 5 = 0$ の距離 $d$ を求める。

はい、承知いたしました。画像に記載されている3つの問題について、それぞれ解答を以下に示します。

**問題3-12 (1)**

1. 問題の内容

点 $(-2, 1)$ と直線 $3x - 2y + 5 = 0$ の距離 $d$ を求める。

2. 解き方の手順

点と直線の距離の公式を用いる。点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

で与えられる。

この問題では、$(x_0, y_0) = (-2, 1)$, $a = 3$, $b = -2$, $c = 5$ であるから、

$d = \frac{|3(-2) - 2(1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|-6 - 2 + 5|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|-3|}{\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$

分母を有理化すると、

$d = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

3. 最終的な答え

$d = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

**問題3-12 (2)**

1. 問題の内容

原点 $O$ から直線 $3x - y = 5$ に下ろした垂線 $OH$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

点と直線の距離の公式を用いる。原点の座標は $(0, 0)$ なので、$(x_0, y_0) = (0, 0)$。

直線は $3x - y - 5 = 0$ と書き直せるので、$a = 3$, $b = -1$, $c = -5$ である。

したがって、

$OH = \frac{|3(0) - 1(0) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$

分母を有理化すると、

$OH = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

$OH = \frac{\sqrt{10}}{2}$

**問題3-13**

1. 問題の内容

3点 $A(1, 1), B(3, 7), C(-3, -1)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

三角形の面積の公式（ヘロンの公式、もしくは座標を用いた公式）を用いる。ここでは、座標を用いた公式を利用する。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$

ここに、$A(1, 1), B(3, 7), C(-3, -1)$ を代入すると、

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |(1(7 - (-1)) + 3(-1 - 1) + (-3)(1 - 7))|$

$= \frac{1}{2} |(1(8) + 3(-2) + (-3)(-6))|$

$= \frac{1}{2} |(8 - 6 + 18)|$

$= \frac{1}{2} |20| = 10$

3. 最終的な答え

$\triangle ABC = 10$

**問題3-14**

1. 問題の内容

直線 $(k - 4)x + (k + 2)y + k + 5 = 0$ は、$k$ の値に関係なく定点を通る。その定点の座標を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を $k$ について整理する。

$(k - 4)x + (k + 2)y + k + 5 = 0$

$kx - 4x + ky + 2y + k + 5 = 0$

$k(x + y + 1) - 4x + 2y + 5 = 0$

この式が $k$ の値に関わらず成り立つためには、次の2式が同時に成り立つ必要がある。

$x + y + 1 = 0$

$-4x + 2y + 5 = 0$

この連立方程式を解く。

$x + y = -1$ より、 $y = -x - 1$

これを $-4x + 2y + 5 = 0$ に代入すると、

$-4x + 2(-x - 1) + 5 = 0$

$-4x - 2x - 2 + 5 = 0$

$-6x + 3 = 0$

$6x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

$y = -x - 1 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$

したがって、定点の座標は $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ である。

3. 最終的な答え

$(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$