一辺が20cmの正三角形ABCの高さADを求める問題。点DはAから辺BCに下ろした垂線とBCの交点であり、BDは10cmである。ADの長さをx cmとし、三角形ABDに三平方の定理を適用してxの値を求め、正三角形の一辺の長さと高さの比を求める。

1. 問題の内容

一辺が20cmの正三角形ABCの高さADを求める問題。点DはAから辺BCに下ろした垂線とBCの交点であり、BDは10cmである。ADの長さをx cmとし、三角形ABDに三平方の定理を適用してxの値を求め、正三角形の一辺の長さと高さの比を求める。

2. 解き方の手順

* 三角形ABDは直角三角形なので、三平方の定理が適用できる。$AB^2 = AD^2 + BD^2$

* 問題文より、$AB = 20$, $BD = 10$, $AD = x$ なので、これらの値を代入して式を立てる。

$20^2 = x^2 + 10^2$

* この式を解いて $x$ の値を求める。

$400 = x^2 + 100$

$x^2 = 400 - 100$

$x^2 = 300$

$x = \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}$

* 正三角形の一辺の長さと高さの比を計算する。

一辺の長さは20 cm、高さは $10\sqrt{3}$ cmなので、比は $20 : 10\sqrt{3}$ 。これを簡単にする。

$20 : 10\sqrt{3} = 2 : \sqrt{3}$

* 通常、比は整数で表すため、両辺に $\sqrt{3}$ をかける。

$2\sqrt{3} : 3$

もしくは、$\sqrt{3} : \frac{3}{2}$とするか

比の表し方として簡単な整数の比の形式にするのが一般的であるため、$2 : \sqrt{3}$ の形にする。

3. 最終的な答え

* 三角形ABDで三平方の定理を用いて式をつくると、$20^2 = x^2 + 10^2$ となる。

* ADの長さは $10\sqrt{3}$ cmである。

* 正三角形の1辺の長さと高さの比は、$2 : \sqrt{3}$ である。