中心が $(3, -2)$、半径が5の円の方程式を求めます。

## 3-16 (1)

1. 問題の内容

中心が $(3, -2)$、半径が5の円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式は、中心を$(a, b)$、半径を$r$とすると、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

で表されます。

この問題では、中心が $(3, -2)$、半径が5なので、それぞれの値を代入します。

$(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2$

$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$

展開すると、

$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 25$

$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 25$

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

3. 最終的な答え

$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$

または

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$

## 3-16 (2)

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$がどのような図形を表すか答えます。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成します。

$x^2 - 6x + y^2 + 2y + 6 = 0$

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) = -6$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) = -6 + 9 + 1$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$

これは、中心が$(3, -1)$、半径が$\sqrt{4} = 2$の円の方程式です。

3. 最終的な答え

中心が$(3, -1)$、半径が2の円

## 3-17 (1)

1. 問題の内容

点 $(2, 3)$ を中心とし、点 $(4, 6)$ を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式は、中心を$(a, b)$、半径を$r$とすると、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

で表されます。

中心は $(2, 3)$ なので、

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = r^2$

この円は点 $(4, 6)$ を通るので、$(x, y) = (4, 6)$ を代入して $r^2$ を求めます。

$(4-2)^2 + (6-3)^2 = r^2$

$2^2 + 3^2 = r^2$

$4 + 9 = r^2$

$r^2 = 13$

したがって、円の方程式は

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 13$

展開すると、

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 13$

$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 13$

$x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$

3. 最終的な答え

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 13$

または

$x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$

## 3-17 (2)

1. 問題の内容

2点 $A(1, 3)$, $B(3, -5)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円の中心は、線分ABの中点です。中点の座標は、

$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

で求められます。

$A(1, 3)$, $B(3, -5)$ なので、中心の座標は

$(\frac{1 + 3}{2}, \frac{3 + (-5)}{2}) = (\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}) = (2, -1)$

円の半径は、中心から点Aまでの距離です。

$r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$r = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

円の方程式は、中心を$(a, b)$、半径を$r$とすると、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

中心は $(2, -1)$、半径は $\sqrt{17}$ なので、

$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{17})^2$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 17$

展開すると、

$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 17$

$x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = 17$

$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 12 = 0$

3. 最終的な答え

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 17$

または

$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 12 = 0$