問題は、次の2つの平面の方程式を求める問題です。 (1) 点 $(0, 1, 3)$ を通り、平面 $3x - 4y + z - 2 = 0$ に平行な平面の方程式を求めよ。 (2) 3点 $(1, -1, 2)$, $(-2, 1, 3)$, $(3, 1, 8)$ を通る平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

問題は、次の2つの平面の方程式を求める問題です。

(1) 点 $(0, 1, 3)$ を通り、平面 $3x - 4y + z - 2 = 0$ に平行な平面の方程式を求めよ。

(2) 3点 $(1, -1, 2)$, $(-2, 1, 3)$, $(3, 1, 8)$ を通る平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

平面 $3x - 4y + z - 2 = 0$ に平行な平面は、$3x - 4y + z + d = 0$ と表すことができます。

この平面が点 $(0, 1, 3)$ を通るので、$x = 0$, $y = 1$, $z = 3$ を代入すると、$3(0) - 4(1) + (3) + d = 0$ より、$-4 + 3 + d = 0$ となり、$d = 1$ となります。

したがって、求める平面の方程式は、$3x - 4y + z + 1 = 0$ です。

(2)

3点 $(1, -1, 2)$, $(-2, 1, 3)$, $(3, 1, 8)$ を通る平面の方程式を求めます。

平面の方程式を $ax + by + cz + d = 0$ とします。

各点を代入すると、次の3つの式が得られます。

$a(-2) + b(1) + c(3) + d = 0$

$a(1) + b(-1) + c(2) + d = 0$

$a(3) + b(1) + c(8) + d = 0$

$a - b + 2c + d = 0$ (1)

$-2a + b + 3c + d = 0$ (2)

$3a + b + 8c + d = 0$ (3)

(2) - (1) より、 $-3a + 2b + c = 0$ (4)

(3) - (1) より、 $2a + 2b + 6c = 0$ (5)

(5) / 2 より、$a + b + 3c = 0$ (6)

(6) から $b = -a - 3c$ (7)

(7) を (4) に代入して $-3a + 2(-a - 3c) + c = 0$

$-3a - 2a - 6c + c = 0$

$-5a - 5c = 0$

$a = -c$ (8)

(8) を (7) に代入して $b = -(-c) - 3c = c - 3c = -2c$

$b = -2c$ (9)

(8) と (9) を (1) に代入して

$-c - (-2c) + 2c + d = 0$

$-c + 2c + 2c + d = 0$

$3c + d = 0$

$d = -3c$

$ax + by + cz + d = 0$ に $a = -c$, $b = -2c$, $d = -3c$ を代入して

$-cx - 2cy + cz - 3c = 0$

$-x - 2y + z - 3 = 0$

$x + 2y - z + 3 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $3x - 4y + z + 1 = 0$

(2) $x + 2y - z + 3 = 0$