2つの平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ と $y - z + 2 = 0$ のなす角を求める。

1. 問題の内容

2つの平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ と $y - z + 2 = 0$ のなす角を求める。

2. 解き方の手順

平面の法線ベクトルを利用して、平面のなす角を求める。

平面 $ax + by + cz + d = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (a, b, c)$ で表される。

平面 $x - y + 2z + 3 = 0$ の法線ベクトルを $\vec{n_1}$ とすると、$\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ となる。

平面 $y - z + 2 = 0$ の法線ベクトルを $\vec{n_2}$ とすると、$\vec{n_2} = (0, 1, -1)$ となる。

2つの平面のなす角を $\theta$ とすると、

$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$

である。

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(0) + (-1)(1) + (2)(-1) = 0 - 1 - 2 = -3$

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

$|\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

よって、

$\cos \theta = \frac{|-3|}{\sqrt{6} \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{6}$ または $\theta = 30^\circ$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$ (または 30°)